а) Решите уравнение 4√3sin³x=cos(2x+3π2)43sin3⁡
б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку [9π/2;6π]

Источник: ЕГЭ ОГЭ по математике Под редакцией И.В. Ященко.

Решение:

а) Решите уравнение 4√3sin³x=cos(2x+3π2)43sin3⁡

cos (2x + 3п/2) = cos2x ⋅ cos 3п/2 – sin 3п/2 = sin2x = 2sinx ⋅ cosx

4√3sin³x = 2 sinx ⋅ cosx

4√3sin³x – 2sinx ⋅ cosx = 0

2 ⋅ sinx ⋅ (2√3sin³x – cosx) = 0

2sinx = 0 или 2√3sin³x – cosx = 0

sin x = 0 2√3 ⋅ (1 – cos²x) – cos = 0

x = Пm 2√3 – 2√3 cos² x – cosx = 0

замена t = cosx, t (-1;1)

– 2√3 t² – t + 2√3 = 0

Д = (-1)² – 4 ⋅ (-2√3) ⋅ 2√3 = 1 + 48 = 49 = 7²

t₁ = 1 + 7 / 2 ⋅ (-2√3) = 8 / – 4√3 = – 2 / √3

t₂ = 1 – 7 / 2 ⋅ (-2√3) = -6 / – 4√3 = 3 ⋅ √3 / 2 √3 ⋅ √3 = √3 / 2

обратная замена :

cos x = √3 / 2

x = + П/6 + 2Пn, n є z

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку [9π/2;6π]

Воспользуемся числовой окружностью и отберем корни принадлежащие отрезку  [9π/2;6π]

x₁ = 5П

x₂ = 6П – П.6 = 36П – П / 6 = 35П / 6

x₃ = 6П

Ответ: а) Пm, m є z; +-п/6, n є z; 5П; 35П.6; 6П