Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки АМ = 10 и МВ = 18. Касательная к окружности, описанной около треугольника АВС, проходит через точку С и пересекает прямую АВ в точке D. Найдите СD. Задача 2062.

Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки АМ = 10 и МВ = 18. Касательная к окружности, описанной около треугольника АВС, проходит через точку С и пересекает прямую АВ в точке D. Найдите СD.

Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)

Решение:

Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки АМ = 10 и МВ = 18. Касательная к окружности, описанной около треугольника АВС, проходит через точку С и пересекает прямую АВ в точке D. Найдите СD. Задача 2062.

Рассмотрим треугольники ADC и CBD.

Угол DСА = СВА

Угол СDВ – общий для обоих треугольников, следовательно, по признаку подобия, треугольники АDС и СВD – подобные.

Следовательно, по определению подобных треугольников запишем:

СD / ВD = АС / ВС = АD / СD

АС / ВС = АМ / МВ = 10 / 18 (первое свойство биссектрисы)

Из равенств выпишем:

АD = СD ⋅ 10 / 18

ВD = СD ⋅ 18 / 10

ВD = АD + АВ = АD + 18 + 10 = АD + 28

АD + 28 = СD ⋅ 18 / 10

СD ⋅ 10 / 18 + 28 = СD ⋅ 18 / 10

28 = СD ⋅ 18 / 10 – СD ⋅ 10 / 18

28 = 18 ⋅ 18 ⋅ СD – 10 ⋅ 10 ⋅ СD / 180

28 ⋅ 180 = СD (324 – 100)

СD = 28 ⋅ 180 / 224 = 180 / 8 = 22,5

CD = 22,5

Ответ: 22,5

Нажмите на звезду, чтобы оценить решение!

Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 2

Оценок пока нет. Поставьте оценку первым.