Решение и ответы заданий демонстрационного варианта ЕГЭ 2026 по математике (профильный уровень). Демовариант от ФИПИ для 11 класса профиль.

Источник: fipi.ru

Задание 1

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

ИЛИ

Площадь параллелограмма ABCD равна 24. Точка E – середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.

ИЛИ

Острый угол В прямоугольного треугольника АВС равен 65°. Найдите величину угла между высотой СН и медианой СМ, проведёнными из вершины прямого угла С. Ответ дайте в градусах.

ИЛИ

Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Задание 2

На координатной плоскости изображены векторы а и b . Найдите скалярное произведение a ⋅ b.

ИЛИ

Даны векторы а (2; 0) и b (1; 4). Найдите длину вектора a + 3b .

Задание 3

Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.

ИЛИ

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины А, В, С, D, А₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ , у которого АВ = 3, AD = 9, AA₁ = 4.

ИЛИ

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/3 высоты. Объём жидкости равен 4 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

ИЛИ

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна 9√2. Найдите радиус сферы.

Задание 4

В группе туристов 50 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 5 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В., входящий в состав группы, полетит первым рейсом вертолёта.

ИЛИ

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19 включительно.

ИЛИ

На конференцию приехали учёные из трёх стран: 3 из Дании, 4 из Венгрии и 3 из Болгарии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что седьмым окажется доклад учёного из Болгарии.

Задание 5

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,7. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит?

ИЛИ

В коробке 5 синих, 9 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

ИЛИ

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что её масса окажется меньше 810 г, равна 0,95. Вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, равна 0,84. Найдите вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, но меньше 810 г.

ИЛИ

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,18. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

Задание 6

Найдите корень уравнения (1/3)^3-x = 81 .

ИЛИ

Найдите корень уравнения √44 − 5x = 3.

ИЛИ

Найдите корень уравнения log₈ (5x + 47) = 3

ИЛИ

Решите уравнение √2x + 3 = x . Если корней окажется несколько, то в ответ запишите наименьший из них.

Задание 7

Найдите значение выражения 3sin 13п/12 ⋅ cos 13п/12

ИЛИ

Найдите значение выражения log₇32/log₇2

Задание 8

На рисунке изображён график y = f′(x) − функции f(x), определённой на интервале (−12; 12). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−6; 11].

Задание 9

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v₀ = 90 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a = 16 км/ч². Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле S = V_ot + at² / 2, где t – время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 72 км. Ответ дайте в минутах.

ИЛИ

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f₀ = 295 Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону f(v) = f₀ / 1 – v/c , где c – скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее, чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c = 300 м/с. Ответ выразите в м/с.

Задание 10

От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 323 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 2 часа после этого следом за ним, со скоростью на 2 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт B он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

ИЛИ

Смешав 45%-й и 97%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-й раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-го раствора той же кислоты, то получили бы 72%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-го раствора использовали для получения смеси?

ИЛИ

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 104 литра она заполняет на 5 минут дольше, чем вторая труба?

Задание 11

На рисунке изображён график функции вида f(x) = k/x . Найдите значение f(30).

Задание 12

Найдите точку максимума функции y = 9 · ln(x – 4) – 9x – 7.

ИЛИ

Найдите точку максимума функции y = (x + 8)² ∙ e^3–x

Задание 13

а) Решите уравнение 2sin³ x = √2cos²x + 2sinx

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–4π; −5п/2 ].

Задание 14

В правильном тетраэдре ABCD точки M и N – середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость αперпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K.

а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если известно, что BK = 1, KC = 3.

ИЛИ

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD через ребро AB провели плоскость α, образующую сечение ABMN, где точки M и N – точки пересечения плоскости α с боковыми рёбрами SC и SD соответственно. Известно, что AB = BM = AN = 5MN.

а) Докажите, что точки M и N делят рёбра SC и SD в отношении 1:4, считая от вершины S.

б) Найдите косинус угла между плоскостью основания ABCD и плоскостью α.

Задание 15

Решите неравенство log₂ (2 – x) – log₂ (x + 1) / log²₂ x² + log₂ x⁴ + 1 ≥ 0.

Задание 16

В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг будет возрастать на r% по сравнению с концом предыдущего года (r – целое число); – с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга; – в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – в июле 2031 года долг должен составить 200 тыс. рублей; – в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите r.

ИЛИ

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму A млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; – к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен. Чему равно A, если общая сумма платежей в 2028 году составит 17 925 тыс. рублей?

Задание 17

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB = CD = 3, BC = DE = 4.

а) Докажите, что AC = CE.

б) Найдите длину диагонали BE, если AD = 6.

ИЛИ

В параллелограмме ABCD с острым углом BAD из вершины B проведены высоты BP и BQ, причём точка P лежит на стороне AD, а точка Q – на стороне CD. На стороне AD отмечена точка M. Известно, что AM = BP, AB = BQ.

а) Докажите, что BM = PQ.

б) Найдите площадь треугольника APQ, если AM = BP = 8, АВ = BQ = 10.

Задание 18

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

(x² – 5x – y + 3) ⋅ √ x – y + 3 = 0

y = 3x + a

Задание 19

Из пары натуральных чисел (a; b), где a > b, за один ход получают пару (a + b; a − b).

а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару, большее число в которой равно 400?

б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару (806; 788)?

в) Какое наименьшее a может быть в паре (a; b), из которой за несколько ходов можно получить пару (806; 788)?

ИЛИ

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел из записанных является целым числом.

а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 403 и 2013?

б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 403?

в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа n, большего 1. Найдите наименьшее возможное значение n.

Источник: fipi.ru