Два друга Миша и Гриша задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта.
На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из двенадцати отдельных клиньев, натянутых на каркас из двенадцати спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом
состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт.
Миша и Гриша сумели измерить расстояние между концами соседних спица. Оно оказалось равно 30 см. Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 29 см, а расстояние d между концами спиц, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, – ровно 116 см.

Задание 1

Длина зонта в сложенном виде равна 28,8 см и складывается из длины ручки (рис. 3) и трети длины спицы (зонт в три сложения). Найдите длину спицы, если длина ручки зонта равна 7 см.

Решение:

28,8 – 7 = 21,8 см

21,8 · 3 = 65,4 см

Ответ: 65,4

Задание 2

«Поскольку зонт сшит из треугольников, – рассуждал Миша, – площадь его поверхности можно найти как сумму площадей треугольников». Вычислите площадь поверхности зонта методом Миши, если высота каждого равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 63,7 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до десятков.

Решение:

S = 1/2ah = 1/2 ⋅ 30 ⋅ 63,7 = 15 ⋅ 63,7 = 955,5

12 ⋅ 955,5 = 11466 см

11466 округлим до целого числа и получим 11470 см²

Ответ: 11470

Задание 3

Гриша предположил, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что ОС = R (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.

Решение:

XY = d/2 = 116/2 = 58

OY = OC – h = R – 29

По теореме Пифагора:

OX² = XY² + OY²

R² = 58² + (R – 29)²

R² = 3364 + R² – 58R + 841

R² – R² + 58R = 4205

58R = 4205

R = 4205 : 58 = 72,5

Ответ: 72,5

Задание 4

Гриша нашёл площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента по формуле S = 2πRh, где R – радиус сферы, a h – высота сегмента. Рассчитайте площадь поверхности купола способом Гриши. Число я округлите до 3,14. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.

Решение:

S = 2пRh = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 72,5 ⋅ 29 = 13203,7 = 13204 см²

Ответ: 13204

Задание 5

Рулон ткани имеет длину 19,2 м и ширину 150 см. На фабрике из этого рулона были вырезаны треугольные клинья для 21 зонтика, таких же, как зонтик, который был у Миши и Гриши. Каждый треугольник с учётом припуска на швы имеет площадь 1000 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона пошло в обрезки?

Решение:

19,2 м = 1920 см

S = 1920 ⋅ 150 = 288000 см² (площадь рулона ткани)

S₁ = 21 ⋅ 12 ⋅ 1000 = 252000 см² (ушло ткани на 21 зонт)

S₂ = 288000 – 252000 = 36000 см² (ткани ушло в обрезки)

36000 / 288000 ⋅ 100% = 12,5%

Ответ: 12,5

Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)