Две подруги Ира и Ева задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта. На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из десяти отдельных клиньев, натянутых на каркас из десяти спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт. Ира и Ева сумели измерить расстояние между концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 36 см. Высота купола зонта
h (рис. 2) оказалась равна 20 см, а расстояние d между концами спиц, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, – ровно 116 см.

Задание 1

Длина зонта в сложенном виде равна 26,5 см и складывается из длины ручки (рис. 3) и трети длины спицы (зонт в три сложений). Найдите длину спицы, если длина ручки зонта равна 6 см.

Решение:

26,5 см – 6 см = 20,5 см
20,5 · 3 = 61,5 см

Ответ: 61,5

Задание 2

«Поскольку зонт сшит из треугольников, – рассуждала Ира, – площадь его поверхности можно найти как сумму площадей треугольников». Вычислите площадь поверхности зонта методом Иры, если высота каждого равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 58,8 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до десятков.

Решение:

1/2 ⋅ 36 ⋅ 58,8 = 18 ⋅ 58,8 = 1058,4

10 ⋅ 1058,4 = 10584

10584 округлим до целого и получим 10580

Ответ: 10580

Задание 3

Ева предположила, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что ОС = R (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.

Решение:

xy = d/2 = 116/2 = 58

oy = OC – h = R – 20

По теореме Пифагора:

OX² = XY² + OY²

R² = 58² + (R – 20)²

R² = 3364 + R² – 40R + 400

R² – R² + 40R = 3764

40R = 3764

R = 3764 : 40 = 94,1

Ответ: 94,1

Задание 4

Ева нашла площадь купола зонта как площадь поверхности сферического
сегмента по формуле S = 2πRh‚ где R – радиус сферы, а h – высота сегмента.
Рассчитайте площадь поверхности купола способом Евы. Число π округлите до 3,14. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.

Решение:

S = 2пRh = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 94,1 ⋅ 20 = 11818,96 = 11819 см²

Ответ: 11819

Задание 5

Рулон ткани имеет длину 19,2 м и ширину 125 см. На фабрике из этого рулона были вырезаны треугольные клинья для 18 зонтиков, таких же, как зонтик, который был у Иры и Евы. Каждый треугольник с учётом припуска на швы имеет площадь 1100 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона пошло в обрезки?

Решение:

19,2 м = 1920 см

S = 1920 ⋅ 125 = 240000 см² (площадь рулона ткани)

S₁ = 18 ⋅ 10 ⋅ 1100 = 198000 см² (ушло ткани на 18 зонт)

S₂ = 240000 – 198000 = 42000 см² (ткани ушло в обрезки)

42000 / 240000 ⋅ 100% = 127,5%

Ответ: 17,5

Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)