Митя играет в компьютерную игру. Он начинает с 0 очков, а для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 30 000 очков. После первой минуты игры добавляется 2 очка, после второй – 4 очка, после третьей – 8 очков и так далее. Таким образом, после каждой следующей минуты игры количество добавляемых очков удваивается. Через сколько минут Митя перейдет на следующий уровень?

Источник: ЕГЭ ОГЭ по математике Под редакцией И.В. Ященко.

Решение:

Предположим, что:

_а1 = 2 – количество очков, набранных за первую минуту игры,

а₂ = 4 – количество очков, набранных за вторую минуту,

а₃ = 8 – количество очков, набранных за третью минуту,

а_n – количество очков, набранных за последнюю минуту.

Количество очков постоянно удваивается, значит дело мы имеем с геометрической прогрессией со знаменателем а = 2.

Каждую минуту очки суммируются

Воспользуемся формулой:

s_n = а₁ (qⁿ – 1) / q – 1 , q не равно 1

Подставим известные цифры в формулу:

2 (2ⁿ – 1) / 2 – 1 > 30000

2ⁿ – 1 > 15000

2ⁿ > 15001

Попробуем подобрать а

При а = 14 выражение 2ⁿ будет больше 15 001 (2¹⁴ = 16384)

2¹⁴ = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16384

Через 14 минут Митя наберет больше 30 000 очков и перейдет на следующий уровень.

Ответ: 14