На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 68°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)

Решение:

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

∠АОВ = ‿АВ = 68°

ΔAOB – равнобедренный, т.к. его боковые стороны являются радиусами окружности и равны ОА = ОВ.

Углы при основании в нём равны ∠ОАВ = ∠ОВА, найдём их сумму:

∠ОАВ + ∠ОВА + ∠АОВ = 180°

∠ОАВ + ∠ОВА + 68° = 180°

∠ОАВ + ∠ОВА = 180° – 68°

∠ОАВ + ∠ОВА = 112°

Тогда каждый из них равен:

∠ОАВ = ∠ОВА = 112°/2 = 56°

Радиус проведённый к касательной пересекает её под прямым углом:

∠ОВС = 90°

Найдём искомый ∠АВС: ∠АВС = ∠ОВС – ∠ОВА = 90° – 56° = 34°

Ответ: 34