Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений x²+y² = |2,7a|, y = a (x − a) имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ ОГЭ по математике Под редакцией И.В. Ященко.

Решение:

x²+y² = |2,7a|

y = a (x − a)

a > 0

x² + (a(x – a))² – |2,7a| = 0

x² + a²(x² – 2ax +a)² – 2,7a = 0

x² + x²a² – 2a³x + a⁴ – 2,7a = 0

x² (1 + a²) – 2a³x + (a⁴ – 2,7a) = 0

D = (-2a³ )² – 4 (1 + a² ) (a⁴ – 2,7a) = 4a⁶ – 4(a⁴ – 2,7a + a⁶ – 2,7a³ ) = 4 (a⁶ – a⁴ + 2,7a – a⁶ + 2,7a³ ) = – 4a(a³ – 2,7a² – 2,7) = 0

a = 3

Ответ: (−3;0)∪(0;3)