Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений (xy − 4x + 20) ⋅ √y − 4x + 20 = 0 y = 5x + a имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ ОГЭ по математике Под редакцией И.В. Ященко.

Решение:

xy – 4x + 20 = 0

y – 4x + 20 = 0

y – 4x + 20 > 0

y = 5x + a

y = 4 – 20/x

y = 4x – 20

y > 4x – 20

y = 5x + a

A,B : 4 – 20/x = 4x – 20

x² – 6x + 5 = 0

A: x=5; y=0; A(5;0)

B: x=1; y = -16; B(1;-16)

5 ∙ 5 + a = 0; a = – 25

5 + a = – 16; a = -21

CD: 5x + a = 4 – 20/x ; 5x + (a-4) x + 20 = 0

D = (a – 4)² – 4 ∙ 5 ∙ 20 = 0; (a – 4)² = 400; a – 4 = +-20

a = 4 – 20 = -16

a = 4 + 20 = 24

Ответ: (-25; -21), (-16; 24)