Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №1 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

Средняя линия трапеции равна 24. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 2:3. Найдите большее основание трапеции.

Задание 2.

Даны векторы а (16; –0,4) и b (2; 5). Найдите скалярное произведение a · b.

Задание 3.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 48. Найдите объём цилиндра.

Задание 4.

Термометр измеряет температуру в помещении. Вероятность того, что температура окажется ниже +18 °C, равна 0,27. Вероятность того, что температура окажется выше +21 °C, равна 0,36. Найдите вероятность того, что температура в помещении окажется в промежутке от +18 °C до +21 °C.

Задание 5.

Стрелок стреляет по трём мишеням. Вероятность попадания в мишень первым выстрелом равна 0,5. Если стрелок промахнулся, он может выстрелить по мишени второй раз. Вероятность попадания в мишень вторым выстрелом равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок поразит ровно одну мишень из трёх.

Задание 6.

Найдите корень уравнения (1/4 )^1-3x = 2^x+2.

Задание 7.

Найдите значение выражения log_2,5 4 – log_2,5 10.

Задание 8.

На рисунке изображён график у = f′(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (–22; 2). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [–18; 1].

Задание 9.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением а км/ч². Скорость v вычисляется по формуле u = √2la, где l – пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,9 километра, приобрести скорость 150 км/ч. Ответ дайте в км/ч².

Задание 10.

Расстояние между пристанями А и В равно 160 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 38 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Задание 11.

На рисунке изображён график функции вида f(x) = k/x+a. Найдите значение x, при котором f(x) = 20.

Задание 12.

Найдите точку минимума функции y = (x + 13)²·e^6-x .

Задание 13.

а) Решите уравнение sin ⁴x/4– cos⁴ x/4 = cos(x – 3п/2).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [–4π; –π].

Задание 14.

В правильной треугольной пирамиде SАВC с основанием АВС точки D и Е делят соответственно рёбра АС и SВ так, что АD : DC = SЕ : ЕВ = 1 : 2. На продолжении ребра SС за точку S отмечена точка О. Прямые ОD и ОЕ пересекают рёбра АS и ВС в точках Р и F соответственно, причём ВF = FС.

а) Докажите, что отрезки DЕ и РF переceкаются.

б) Найдите отношение АР : РS.

Задание 15.

Решите неравенство. 16 ⋅ 5^{1 − 8/x} – 189 ⋅20^{− x/4} + 25 ⋅ 2^{2 − 16/x} ≤ 0

Задание 16.

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 4 года. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению c концом предыдущего года; – c февраля по июнь каждого года необходимо выплатить 312 500 рублей. Какую сумму (в рубляx) планируется взять в кредит, если он будет полностью погашен этими четырьмя платежами?

Задание 17.

Окружность с центром в точке О вписана в ромб АВСD и касается его сторон АВ, СD и АD соответственно в точках F, К и Р.

а) Докажите, что прямая ЕР параллельна диагонали ромба ВD.

б) Найдите длину диагонали ВD, если известно, что FР = 12 и РК = 5.

Задание 18.

Найдите все значения а, при каждом из которых площадь фигуры, ограниченной линиями у = a/2х + 2а и у = а|х| + |а|, будет меньше 7, но не меньше 3.

Задание 19.

На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке 0; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), соли выпадает четное число очков, и влево (отрицательное направление прямо, если выпадает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.

а) Может ли фишка оказаться на отметке « – 50», если Митя 30 раз бросил кубик?
б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «–50»?
в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечетное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «–55», если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз.

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов.