Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №11 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5, sinA = 0,28. Найдите AC.

Задание 2.

На координатной плоскости изображены векторы a и b. Найдите скалярное произведение векторов a и 2b

Задание 3.

В цилиндрический сосуд налили 2100 см³ воды. Уровень жидкости оказался равным 20 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 5 см. Найдите объём детали? Ответ выразите в см³.

Задание 4.

В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 5 из Японии, 4 из Кореи, 9 из Китая и 7 из Индии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий третьим, окажется из Индии.

Задание 5.

На одной полке стоит 36 блюдец: 14 синих и 22 красных. На другой полке стоит 36 чашек: 27 синих и 9 красных. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета.

Задание 6.

Найдите корень уравнения 3^log27(8x+4) = 4

Задание 7.

Найдите значение выражения (8⁵)³ : (4²)⁹

Задание 8.

На рисунке изображен график y = f'(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответ укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Задание 9.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = H₀ − √2gH₀kt + g/2k²t², где t – время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H0 = 5м – начальная высота столба воды, k = 1700 – отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g – ускорение свободного падения (считайте g = 10м/с2). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

Задание 10.

Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 621 литр она заполняет на 9 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 486 литров?

Задание 11.

На рисунке изображен график функции f(x)=ax + b. Найдите f(11).

Задание 12.

Найдите наименьшее значение функции y = (x² − 10x + 10)e^2−x на отрезке [-1;7]

Задание 13.

а) Решите уравнение sinx ⋅ cos2x − √3cos²x + sinx = 0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π]

Задание 14.

В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причём B₁K : KC₁ = 1 : 3. Четырёхугольник AMKN – равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.

а) Докажите, что точка N – середина ребра BC.

б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы равен 24, а высота призмы равна 3.

Задание 15.

Решите неравенство 2^−2√x + 32 ⋅ 10^2−√x > 2^9−2√x + 625 ⋅ 10^−2−√x

Задание 16.

В июле 2027 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1500 тыс. рублей. Условия возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2028, 2029, 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2033, 2034, 2035, 2036 и 2037 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2037 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2400 тыс. рублей. Сколько рублей составит  платёж в 2029 году?

Задание 17.

Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём AM : MC = 1 : 2, BN : ND = 1 : 3.

а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1:4.

б) Найдите сторону ромба, если MN = √12.

Задание 18.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений (xy − 3x + 9) ⋅ √y − 3x + 9 = 0; y = 4x + a имеет ровно два различных решения.

Задание 19.

В классе больше 10, но не больше 28 учащихся, а доля девочек не превышает 22%.
а) Может ли в этом классе быть 4 девочки?
б) Может ли доля девочек составить 30%, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов