Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №10 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

Четырёхугольник АВСВ вписан в окружность. Угол АВС равен 112°, угол АВВ равен 38°, Найдите угол САВ. Ответ дайте в градусах.

Задание 2.

Даны векторы а (-14; 2) и b (3; -21 ). Найдите косинус угла между ними.

Задание 3.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В , D, Е, С1 правильной шестиугольной призмы АВСDЕF А1В1С1D1Е1F1, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 6 .

Задание 4.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов: 8 прыгунов из Кореи,
10 из Китая, остальные из Вьетнама. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой.
Найдите вероятность того, что вторым будет выступать прыгун из Вьетнама.

Задание 5.

Из 10 билетов 2 являются выигрышными. Наугад берут 3 билета. Найдите вероятность
того, что среди них хотя бы один окажется выигрышным. Ответ округлите до сотых.

Задание 6.

Найдите корень уравнения log₄(8 − 5x) = 2log₄3

Задание 7.

Найдите значение выражения √50 – √200 sin² 13п/8.

Задание 8.

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённый на интервале (-5;9). Найдите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [4, 9 ].

Задание 9.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: FA = aρgr³, где a = 4,2 – постоянная, ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, g – ускорение свободного падения (считайте g = 10 Н/кг), а r – радиус аппарата в метрах. Какой может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше чем 447 216 H? Ответ дайте в метрах.

Задание 10.

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней,
работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 3 дня выполняет
такую же часть работы, какую второй – за 4 дня?

Задание 11.

На рисунке изображён график функции f(x) = b + k√x.
Найдите значение х , при котором f(x) = 0.

Задание 12.

Найдите наименьшее значение функции у = 3 – 3п + 12x – 12√2 sin x на отрезке 0 ; п/2.

Задание 13.

а) Решите уравнение √16 – 25 x² ⋅ (9x^3x+2 – 163 ⋅ 27^x + 2) = 0 .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0,4; 4 ].

Задание 14.

В правильной пирамиде 8АВС на стороне ВС основания АВС и боковом ребре А 8
отметили соответственно точки Р и К такие, что ВР : РС = АК : КЗ = 2 : 1. Через
точки Р и К параллельно прямой АС провели плоскость а.

а) Докажите, что сечением пирамиды SАВС плоскостью а является равнобедренная
трапеция.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость а разделила
пирамиду SАВС.

Задание 15.

Решите неравенство (2x² + 9x + 10) (1/3 log _0,5 (x² – 5) + log₈ (√5 – x) ) > 0 .

Задание 16.

В мае 2028 года планируется взять кредит на 6 лет в размере 1324 тыс. рублей.

Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;

с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить часть долга;

в мае 2029, 2030 и 2031 годов долг остаётся равным 1324 тыс. рублей;

выплаты в 2032, 2033 и 2034 годах равны;

к маю 2034 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат по кредиту.

Задание 17.

В квадрате АВСD на диагонали ВD и на сторонах АВ и ВС отметили соответственно
точки Р, Е и Е такие, что ВЕ = ВF , а прямая, проходящая через точку Р параллельно
прямой АС, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади
четырёхугольника ЕВFР и в три раза меньше площади квадрата.

а) Докажите, что если ВР ⋅ ВЕ = √2 , то АВ = √3 .

б) Найдите отношение площадей треугольников ЕРF и ЕВF.

Задание 18.

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
√a + x² = √a +y²

x² + y² = 4 x – 4y + 16
имеет ровно два решения.

Задание 19.

Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью
цифр 1, 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное
число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:

к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число
было записано;

вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр,

а) Может ли сумма чисел первого набора быть на 13 больше суммы чисел второго
набора?

б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза меньше суммы чисел второго
набора?

в) Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел первого набора к сумме
чисел второго набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных
чисел было столько же, сколько и двузначных.

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов