Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №12 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=3, cosA=2√5/5. Найдите AC.

Задание 2.

На координатной плоскости изображены векторы a и b. Найдите скалярное произведение векторов 2a и b

Задание 3.

В цилиндрический сосуд налили 6 куб. см воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,6 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см.

Задание 4.

На конференцию приехали учёные из трёх стран: 8 из Уругвая, 7 из Чили и 5 из Парагвая. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что вторым окажется доклад учёного из Чили.

Задание 5.

На одной полке стоит 25 блюдец: 16 красных и 9 синих. На другой полке стоит 25 чашек: 13 красных и 12 синих. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета.

Задание 6.

Найдите корень уравнения 2^log16(5x+4) = 5

Задание 7.

Найдите значение выражения (125⁷)³ : (25⁴)⁸

Задание 8.

На рисунке изображен график y=f'(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (-7;5). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответ укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Задание 9.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону H(t)=H₀−√2_gH₀kt+g/2k²t², где t – время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H₀ = 20м – начальная высота столба воды, k = 1/200 – отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g – ускорение свободного падения (считайте g = 10м/с²). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

Задание 10.

Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 120 литров она заполняет на 2 минут быстрее, чем первая труба?

Задание 11.

На рисунке изображен график линейной функции. Найдите значение x, при котором f(x)=8.

Задание 12.

Найдите точку максимума функции y = (x − 14)² e ^26−x

Задание 13.

а) Решите уравнение cos x ⋅ cos 2x − sin²x − cos x = 0;
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−5π/2; −π]

Задание 14.

В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причём B₁K:KC₁ = 2 : 3. Четырёхугольник AMKN – равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 5.

а) Докажите, что точка N – середина ребра BC.

б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы равен 20, а высота призмы равна 2.

Задание 15.

Решите неравенство 3^2√x−10 + 6561 ⋅ 12^√x−4 < 3^2√x + 16 ⋅ 12^√x−6

Задание 16.

В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1300 тыс. рублей. Условия возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2780 тыс. рублей. Сколько рублей составит  платёж в 2027 году?

Задание 17.

Прямая, перпендикулярная стороне AB ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке K, а диагональ BD в точке L, причём AK : KC = 1 : 3, BL : LD = 2 : 1.

а) Докажите, что прямая KL делит сторону ромба AB в отношении 1 : 4.

б) Найдите сторону ромба, если KL = 6.

Задание 18.

Найдите все значения aa, при каждом из которых система уравнений (xy − 4x + 20) ⋅ √y − 4x + 20 = 0; y = 5x + a имеет ровно два различных решения.

Задание 19.

В классе больше 10, но не больше 27 учащихся, а доля девочек не превышает 26%.

а) Может ли в этом классе быть 6 девочек?

б) Может ли доля девочек составить 30%, если в этот класс придёт новая девочка?

в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов