Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №13 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

Угол ACB равен 33°. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 102°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Задание 2.

Даны векторы a (2; 3) и b(−3 ; b₀). Найдите b₀, если |b| = 1,5|a|. Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них.

Задание 3.

Цилиндр, объём которого равен 114, описан около шара. Найдите объём шара.

Задание 4.

В группе туристов 24 человека. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 3 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист З. полетит четвёртым рейсом вертолёта.

Задание 5.

Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события “стрелок поразит ровно две мишени” больше вероятности события “стрелок поразит ровно одну мишень”?

Задание 6.

Найдите корень уравнения 0,25^2x−1 = 8^x+3

Задание 7.

Найдите 2cos2α, если sin α = − 0,7

Задание 8.

На рисунке изображён график y = f′(x) – производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x1,x2,…,x9. Сколько из этих точек принадлежат промежуткам убывания функции f(x)?

Задание 9.

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора C = 5⋅ 10 ^{− 6}Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением R = 7 ⋅ 10⁶ ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U₀ = 36 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U(кВ) за время, определяемое выражением t = α R C log₂ U₀/ (с), где α = 0,8 – постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 84 с. Ответ дайте в киловольтах.

Задание 10.

На изготовление 312 деталей первый рабочий тратит на 11 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 480 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?

Задание 11.

На рисунке изображен график функции f(x) = k√x + p. Найдите f (0,25)

Задание 12.

Найдите наибольшее значение функции y = (x + 4)² (x + 3) − 6 на отрезке [-5; -3,5]

Задание 13.

а) Решите уравнение 4√3cos³x = cos (2x + π/2)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−4π; −5π/2]

Задание 14.

Основанием правильной треугольной пирамиды PABC является треугольник ABC, AP = 1,3AB. Через точку A перпендикулярно апофеме грани BCP проведена плоскость α.

а) Докажите, что плоскость α делит апофему грани BCP в отношении 119 : 25, считая от точки P.

б) Найдите угол между прямой AC и плоскостью α.

Задание 15.

Решите неравенство |log₄( x + 1)² −2 |+ |log₂ (2x + 3) − 1| ⩽ 3

Задание 16.

В октябре 2027 года Анна планирует взять кредит в банке на 7 лет в размере 4350 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 10% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в период с февраля по сентябрь необходимо выплатить часть долга;
– в октябре каждого года в первые пять лет действия кредита (2028-2032 гг.) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на октябрь предыдущего года;
– в 2033 и 2034 годах выплаты по кредиту равны;
– к октябрю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.
​Известно, что общая сумма выплат по кредиту должна составлять 6025 тыс. рублей. Сколько рублей составит выплата 2031 года?

Задание 17.

В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A вписана окружность с центром в точке O и радиусом R. К этой окружности параллельно прямой AB проведена касательная, которая пересекает стороны BC и AC в точках D и E соответственно. В треугольник CDE вписана окружность с центром в точке O₁ и радиусом r. Прямые OO₁ и AB пересекаются в точке P.

а) Докажите, что AP : PB = cos∠ACB

б) Найдите площадь треугольника ABC, если R = 6, r = 4.

Задание 18.

Найдите все значения aa, при каждом из которых система уравнений x² + y² = |1,6a|; y = ax − a² имеет ровно два различных решения.

Задание 19.

Трёхзначное число A имеет k натуральных делителей (в том числе 1 и A).

а) Может ли k быть равно 7?

б) Может ли k быть равно 25?

в) Найдите наибольшее k.

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов