Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №15 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

Радиус окружности равен √6. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную 3√2. Ответ дайте в градусах.

Задание 2.

На координатной плоскости изображены векторы a, b и c. Найдите длину вектора a + b + c

Задание 3.

От треугольной пирамиды, объем которой равен 34, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объём отсеченной треугольной пирамиды.

Задание 4.

Фабрика выпускает сумки. В среднем 8 сумок из 1000 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

Задание 5.

В ящике 7 красных и 3 синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

Задание 6.

Решите уравнение log₅(2x + 3) = log_0,2(x + 1). Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Задание 7.

Найдите значение выражения √m / ⁵√m ⋅ ²⁰√m при m = 256

Задание 8.

На рисунке изображён график y = f’(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (-8;6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику y = f(x) параллельна прямой y= -2x – 14 или совпадает с ней.

Задание 9.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: T(t)=T₀+bt+at², где t – время (в мин.), Т₀ = 1400К, a = −25К/мин², b = 300К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1900К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Задание 10.

От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 240 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 8 часов после этого следом за ним, со скоростью на 8 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Задание 11.

На рисунке изображён график функции f(x) = pa^x. Найдите f(4)

Задание 12.

Найдите наименьшее значение функции y = x√x − 9x + 23 на отрезке [1;36].

Задание 13.

а) Решите уравнение (4x² +16x + 15) (cos x ⋅ cos (π/2+x) − 0,5) = 0
​​

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2π; −π/2]

Задание 14.

На рёбрах AB и B₁C₁ правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ отметили соответственно точки T и K так, что AT : TB = 2 : 1 и B₁K = KC₁. Через точки K и C параллельно прямой TB₁ проведена плоскость α.

а) Докажите, что точка пересечения плоскости α с ребром AB является серединой отрезка AT.

б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью α, если AB = 42, AA₁ = 3√7.

Задание 15.

Решите неравенство 9log²₈(4 − x)⁴ + 5log_0,5(4 − x)⁸ ⩽ 56

Задание 16.

В августе 2027 года Дмитрий планирует взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:
– в январе 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг увеличивается на 10% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в январе 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг увеличивается на 14% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в период с февраля по июль необходимо выплатить часть долга;
– в августе каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на август предыдущего года;
– к августу 2035 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите сумму кредита (в млн рублей), если она на 1700 тыс. рублей меньше суммы общих выплат по кредиту.

Задание 17.

В трапеции KLMN с основаниями KN и ML провели биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересеклись в точке P. Через точку P параллельно прямой KN провели прямую, которая пересекла стороны LK и MN соответственно в точках A и B. При этом AB = KL.

а) Докажите, что трапеция KLMN равнобедренная.

б) Найдите cos∠LKN, если KP : PM = 2 : 3, AP : PB = 1:2.

Задание 18.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений  (|x + 4| + |x − 4|/2 − 1)²+(|y+1|+|y−1|/2−5)²=25; y = ax − 8a имеет ровно два различных решения.

Задание 19.

Среднее геометрическое k чисел p1,p2,…,pk вычисляется по формуле ^k√p1⋅p2⋅…⋅pk.

а) Может ли среднее геометрическое трёх различных двузначных чисел быть равно 45?

б) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического трёх различных двузначных чисел.

в) Найдите наибольшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов