Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №17 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

В треугольнике ABC средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь трапеции ABED равна 36.

Задание 2.

Даны векторы a(2;−5) и b(5;7). Найдите скалярное произведение векторов 0,6a и 1,4b

Задание 3.

Площадь полной поверхности конуса равна 66. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.

Задание 4.

В сборнике билетов по математике всего 60 билетов, в 9 из них встречается вопрос по теме “Производная”. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме “Производная”.

Задание 5.

В верхнем ящике стола лежат 10 белых и 15 чёрных одинаковых по размеру кубиков. В нижнем ящике стола лежит 15 белых и 10 чёрных таких же кубиков. Аня наугад взяла из верхнего ящика два кубика, а Оля – два кубика из нижнего ящика. После этого Аня положила свои кубики в нижний ящик, а Оля – в верхний. Найдите вероятность того, что в верхнем ящике по-прежнему будет 10 белых и 15 чёрных кубиков.

Задание 6.

Найдите корень уравнения ³√x + 5 = 8

Задание 7.

Найдите значение выражения log_0,2564

Задание 8.

На рисунке изображён график y = f’(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (-3;10). В какой точке отрезка [4;9] функция f(x) принимает наибольшее значение?

Задание 9.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому P = σST⁴, где P – мощность излучения звезды (в Ваттах), σ = 5,7 ⋅ 10⁻⁸ Вт/м²⋅К⁴ – постоянная, S – площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а T – температура в градусах Кельвина. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна 1/648 ⋅ 10²⁰м², а мощность её излучения равна 1,824 ⋅ 10²⁶ Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

Задание 10.

Два велосипедиста одновременно отправились в 88-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Задание 11.

На рисунке изображены графики функций f(x) = k/x  и g(x) = ax + b, которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Задание 12.

Найдите наибольшее значение функции y = 3 cos x + 8x − 5 на отрезке [−3π/2; 0]

Задание 13.

а) Решите уравнение 6^2x−1 + 2 ⋅ 25^x−0,5 = 16 ⋅ 30^x−1

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0,5; 4]

Задание 14.

Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA перпендикулярно плоскости основания. Через середины рёбер BC и CD параллельно прямой SC проведена плоскость α.

а) Докажите, что точка пересечения плоскости α с ребром AS делит это ребро в отношении 1:3, считая от вершины S.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если AB = 4, AS = 3√2.

Задание 15.

Решите неравенство log₃(3 − x) − log₃(3x + 2) / log²₃x² + 2log₃x⁴ + 4 ⩾ 0

Задание 16.

В июне 2028 года Ольга планирует взять кредит в банке N на 4 года в размере 3,6 млн рублей. Условия его возврата таковы:
– в январе 2029 и 2030 годов долг увеличивается на r% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в январе 2031 и 2032 годов долг увеличивается на 18% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в период с февраля по июнь каждого года действия кредита необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2032 года кредит должен быть полностью погашен.
Ольге предложили взять кредит в банке G на таких же условиях, но только в первые два года долг будет увеличиваться на 18%, а в последующие два года – на r%. Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту в банке G больше суммы выплат по кредиту в банке N на 162 тыс. рублей.

Задание 17.

На стороне BC ромба ABCD отметили точку E так, что BE : EC = 1 : 4. Через точку E перпендикулярно BC провели прямую, которая пересекает диагонали BD и AC в точках R и M соответственно, при этом BR : RD = 1 : 3.

а) Докажите, что точка M делит отрезок AC в отношении 2 : 1, считая от вершины C.

б) Найдите периметр ромба ABCD, если MR = 2√3.

Задание 18.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение √8 − 2x − x² + 2 + a = a|x| имеет ровно один корень.

Задание 19.

Даны два набора чисел: в первом наборе каждое число равно 150, а во втором – каждое число равно 50. Среднее арифметическое двух наборов равно 78.

а) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число n. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 71?

б) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число m. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 70?

в) Каждое число одного набора увеличили на натуральное число k, одновременно уменьшив на k каждое число другого набора, при условии, что все числа остались положительными. Какие целые значения может принимать среднее арифметическое всех чисел двух наборов?

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов