Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №18 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

В параллелограмме ABCD точка E – середина стороны AD. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь трапеции BCDE равна 72.

Задание 2.

Даны векторы a(2,2; −4) и b(−1,25; −1). Найдите скалярное произведение векторов 3a и 4b

Задание 3.

Площадь основания конуса равна 56. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 4 и 12, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Задание 4.

В сборнике билетов по физике всего 40 билетов, в 6 из них встречается вопрос по теме “Оптика”. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме “Оптика”.

Задание 5.

В верхнем ящике стола лежат 10 белых и 15 чёрных одинаковых по размеру кубиков. В нижнем ящике стола лежит 15 белых и 10 чёрных таких же кубиков. Ваня наугад взял из верхнего ящика два кубика, а Толя – два кубика из нижнего ящика. После этого Ваня положил свои кубики в нижний ящик, а Толя – в верхний. Найдите вероятность того, что в верхнем ящике стало 11 белых и 14 чёрных кубиков.

Задание 6.

Найдите корень уравнения ⁴√2 − x = 16

Задание 7.

Найдите значение выражения 625log⁵3

Задание 8.

На рисунке изображён график y = f’(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (-2;11). В какой точке отрезка [-1;5] функция f(x) принимает наименьшее значение?

Задание 9.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому P = σST⁴, где P – мощность излучения звезды (в Ваттах), σ = 5,7 ⋅ 10⁻⁸ Вт/м²⋅К⁴ – постоянная, S – площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а T – температура в градусах Кельвина. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна 1/125 ⋅ 10²⁰м², а мощность её излучения равна 4,56 ⋅ 10²⁶ Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

Задание 10.

Два велосипедиста одновременно отправились в 110-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Задание 11.

На рисунке изображены графики функций f(x) = k/x  и g(x) = ax + b, которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Задание 12.

Найдите точку минимума функции y = (1−2x)cos x + 2 sin x +10, принадлежащую промежутку (0; π/2)

Задание 13.

а) Решите уравнение 25^x+0,5 + 1,2 ⋅ 2^4x+1 = 140 ⋅ 20^x−1

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2,5; -0,5]

Задание 14.

Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 6. На ребре SA отмечена тока K такая, что KS = 1,5. Через точку K и середины рёбер BC и CD проведена плоскость α.

а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой CS.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если AB=4√2.

Задание 15.

Решите неравенство log₅(3 − 2x) − log₅(x + 2) / log²₅x² + log₅x⁴ + 1 ⩾ 0

Задание 16.

В июне 2028 года Егор планирует взять кредит в банке N на 4 года в размере 5 млн рублей. Условия его возврата таковы:
– в январе 2029 и 2030 годов долг увеличивается на 14% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в январе 2031 и 2032 годов долг увеличивается на r% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в период с февраля по июнь каждого года действия кредита необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2032 года кредит должен быть полностью погашен.
Егору предложили взять кредит в банке G на таких же условиях, но только в первые два года долг будет увеличиваться на r%, а в последующие два года – на 14%. Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту в банке G меньше суммы выплат по кредиту в банке N на 175 тыс. рублей.

Задание 17.

На стороне BC ромба ABCD отметили точку E так, что BE : EC = 1 : 3. Через точку E перпендикулярно BC провели прямую, которая пересекает диагонали BD и AC в точках R и M соответственно, при этом BR : RD = 1 : 2.

а) Докажите, что точка M делит отрезок AC в отношении 3 : 2, считая от вершины C.

б) Найдите периметр ромба ABCD, если MR = √15.

Задание 18.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение √3x + 18 − x² − 2a = a |x|+1 имеет ровно один корень.

Задание 19.

Даны два набора чисел: в первом наборе каждое число равно 175, а во втором – каждое число равно 80. Среднее арифметическое всех чисел двух наборов равно 145.

а) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число n. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 132?

б) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число m. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 135?

в) Каждое число одного набора увеличили на натуральное число k, одновременно уменьшив на k каждое число другого набора, при условии, что все числа остались положительными. Какие целые значения может принимать среднее арифметическое всех чисел двух наборов?

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов