Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №19 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

Основания трапеции равны 29 и 44. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Задание 2.

На координатной плоскости изображены векторы a и b. Найдите cosαcos⁡α, где α – угол между векторами a и b

Задание 3.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 6√2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Задание 4.

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов: первые три дня по 11 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Задание 5.

Ваня бросил игральный кубик, и у него выпало больше 2 очков. Петя бросил игральный кубик, и у него выпало меньше 6 очков. Найдите вероятность того, что у Пети выпало очков больше, чем у Вани.

Задание 6.

Решите уравнение √3 − 2x = 2x + 3. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Задание 7.

Найдите значение выражения (2^4/7 ⋅ 5^2/3)²¹ / 10¹² .

Задание 8.

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t² + 7t + 13, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 25 м/с?

Задание 9.

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U = U₀cos(ωt + φ), где t – время в секундах, амплитуда U₀ = 2, частота ω = 120°/с, фаза φ = −45°. Датчик настроен так, что если напряжение в нем не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Задание 10.

Имеется два сосуда. Первый содержит 60 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 76% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 82% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Задание 11.

На рисунке изображены графики функций f(x) = ax² + bx + c и g(x) = −2x² + 4x + 3, которые пересекаются в точках A(0;3) и B(x_B;y_B). Найдите y_B.

Задание 12.

Найдите наименьшее значение функции y=2x² − 5x + lnx на отрезке [1/6; 7/6]

Задание 13.

а) Решите уравнение 4log₂²(sin x) − 3 log_0,5 (sin² x) + 2 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−7π/2; −2π]

Задание 14.

Основанием четырёхугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является прямоугольная трапеция ABCD, в которой ∠BAD=90°, а основания AB и CD соответственно равны c и b.

а) Докажите, что если c = 4b, то объёмы многогранников, на которые призму ABCDA₁B₁C₁D₁ делит плоскость CDA₁, относятся как 3 : 2.

б) Объёмы многогранников DA₁D₁CB₁C₁ и ADA₁BCB₁, на которые призму ABCDA₁B₁C₁D₁ делит плоскость CDA₁, соответственно равны 30 и 20. Найдите высоту призмы ABCDA₁B₁C₁D₁, если CD = 5, а AD = 4.

Задание 15.

Решите неравенство 6^2×2−5|x| ⋅ 5^3|x| ⩽ 1

Задание 16.

В сентябре 2027 года Михаил планирует взять кредит в банке на 6 лет в размере 1500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– в январе 2028, 2029 и 2030 годов долг увеличивается на r% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в январе 2031, 2032 и 2033 годов долг увеличивается на (r+3)% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в период с февраля по август необходимо выплатить часть долга;
– в сентябре каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на сентябрь предыдущего года;
– к сентябрю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 2175 тыс. рублей.

Задание 17.

В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона AB равна a, а основание AD = c больше основания BC = b. Построена окружность, касающаяся сторон AB, CD и AD.

а) Докажите, что если b + c > 2 a, то окружность пересекает сторону BC в двух точках.

б) Найдите длину той части отрезка BC, которая находится внутри окружности, если c = 12, b = 10, a = 8.

Задание 18.

Найдите все значения aa, при каждом из которых уравнение √15 − 2x − x² = 3a|x| + a − 3ax − x имеет ровно один корень.

Задание 19.

Дано четырёхзначное число abcd, где a, b, c и d – соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём a≠0.

а) Может ли произведение a · b · c · d быть больше суммы a + b + c + d в 3 раза?

б) Цифры a, b, c и d попарно различны. Сколько существует различных чисел abcd таких, что a · b · c · d

в) Известно, что a · b · c · d = k (a + b + c + d), где k – двузначное число. При каком наименьшем значении abcd число k будет наибольшим?

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов