Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №2 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

Средняя линия трапеции равна 30. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 5:3. Найдите меньшее основание трапеции.

Задание 2.

Даны векторы а (-8; 0,5) и b (5; 24). Найдите скалярное произведение a · b.

Задание 3.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 72. Найдите объём конуса.

Задание 4.

В магазине в одной коробке лежат вперемешку ручки с чёрными, синими или красными чернилами одинаковые на вид. Покупатель случайным образом выбирает одну ручку. Вероятность того, что она окажется синей, равна 0,47, а того, что она окажется красной, равна 0,18. Найдите вероятность того, что ручка окажется чёрной.

Задание 5.

Стрелок стреляет по трём мишеням. Вероятность попадания в мишень первым выстрелом равна 0,4. Если стрелок промахнулся, он может выстрелить по мишени второй раз. Вероятность попадания в мишень вторым выстрелом равна 0,5. Найдите вероятность того, что стрелок поразит ровно две мишени из трёх.

Задание 6.

Найдите корень уравнения 4^x-2 = (1/2)^3x+1

Задание 7.

Найдите значение выражения log_0,2 100 – log_0,2 4.

Задание 8.

На рисунке изображён график у = f′(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (–5; 12). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [–4; 9].

Задание 9.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением а = 6250 км ч². Скорость v (в км/ч) вычисляется по формуле u = √2la ‚ где l – пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 100 км/ч.

Задание 10.

Расстояние между пристанями А и В равно 72 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Задание 11.

На рисунке изображён график функции вида f(x) = k/x+a. Найдите значение x, при котором f(x) = 18.

Задание 12.

Найдите наибольшее значение функции y = (x + 15)² ∙ e ^{-13 – x} на отрезке [–14; –12].

Задание 13.

а) Решите уравнение cos⁴ x/4 – sin⁴ x/4 = sin(x – π/2).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [π; 5π].

Задание 14.

В правильной треугольной пирамиде SАВC с основанием АВС точки D и Е делят соответственно рёбра АС и SВ так, что АD:DC = SЕ:ЕВ = 1:3. На продолжении ребра SС за точку S отмечена точка О. Прямые ОD и ОЕ пересекают рёбра АS и ВС в точках Р и F соответственно, причём CF = 2FB.

а) Докажите, что отрезки DЕ и РF переceкаются.
б) Найдите отношение АР:AS.

Задание 15.

Решите неравенство. 3 ⋅ 25^{1 − 3/x} – 152 ⋅ 15 ^{− 3/x} + 5 ⋅ 3^{2 − 6/x} > 0

Задание 16.

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 4 года. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению c концом предыдущего года; – c февраля по июнь каждого года необходимо выплатить 324 000 рублей. Какую сумму (в рубляx) планируется взять в кредит, если он будет полностью погашен этими четырьмя платежами?

Задание 17.

Окружность с центром в точке О вписана в ромб АВСD и касается его сторон АВ, СD и АD соответственно в точках F, К и Р.

а) Докажите, что прямая ЕР параллельна диагонали ромба ВD.
б) Найдите площадь ромба ABCD, если известно, что FP = 6 и PK = 8.

Задание 18.

Найдите все значения a, при каждом из которых площадь фигуры, ограниченной линиями y = a/2 x + a и y = a|x| – |a/2| , будет больше 6, но не больше 12.

Задание 19.

На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке 0; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает четное число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает нечетное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.

а) Может ли фишка оказаться на отметке «0», если Митя 45 раз бросил кубик?
б) Известно, что четное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечетное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «–35»?
в) Известно, что четное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечетное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «–40», если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз?

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов.