Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №20 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 48. Найдите ее среднюю линию.

Задание 2.

На координатной плоскости изображены векторы a и b. Найдите cosαcos⁡α, где α – угол между векторами a и b

Задание 3.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна 12√2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Задание 4.

Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 25 выступлений: по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 13 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, то выступление исполнителя из России состоится в последний день конкурса?

Задание 5.

Ваня бросил игральный кубик, и у него выпало больше 2 очков. Петя бросил игральный кубик, и у него выпало меньше 5 очков. Найдите вероятность того, что у Пети выпало очков меньше, чем у Вани.

Задание 6.

Решите уравнение √3x + 22 = 2 − x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Задание 7.

Найдите значение выражения 0,75^1/4 ⋅ 4^1/2 ⋅ 12^3/4

Задание 8.

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = −t³ + 6t + 10x, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Задание 9.

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U = U₀cos(ωt + φ), где t – время в секундах, амплитуда U₀ = 2, частота ω = 120°/с, фаза φ = 45°. Датчик настроен так, что если напряжение в нем не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Задание 10.

Имеется два сосуда. Первый содержит 50 кг, а второй – 10 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 40% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 52% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Задание 11.

На рисунке изображены графики функций f(x) = ax² + bx + c и g(x) = 2x² + 7x + 2, которые пересекаются в точках A(0; 2) и B(x_B; y_B). Найдите x_B.

Задание 12.

Найдите точку максимума функции y = 1,5x² − 27x + 54 ln x − 7

Задание 13.

а) Решите уравнение log₂⁴(cos 2x) = log 1/16 (cos 2x)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2]

Задание 14.

Основанием четырёхугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является прямоугольная трапеция ABCD, в которой ∠BAD = 90°, а основания AB и CD соответственно равны c и b.

а) Докажите, что если c = 2b, то объёмы многогранников, на которые призму ABCDA₁B₁C₁D₁ делит плоскость CDA₁, относятся как 5 : 4.

б) Объёмы многогранников DA₁D₁CB₁C₁ и ADA₁BCB₁, на которые призму ABCDA₁B₁C₁D₁ делит плоскость CDA₁, соответственно равны 50 и 40. Найдите высоту призмы ABCDA₁B₁C₁D₁, если CD = 3, а AD = 2.

Задание 15.

Решите неравенство 4^9|x|−4×2 ⋅ 9^4|x| ⩾ 1

Задание 16.

В сентябре 2027 года Мария планирует взять кредит в банке на 6 лет в размере 4,5 млн рублей. Условия его возврата таковы:
– в январе 2028, 2029 и 2030 годов долг увеличивается на r% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в январе 2031, 2032 и 2033 годов долг увеличивается на (r-3)% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в период с февраля по август необходимо выплатить часть долга;
– в сентябре каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на сентябрь предыдущего года;
– к сентябрю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту должна составить 7,2 млн рублей. Сколько рублей составит выплата 2032 года?

Задание 17.

В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона AB равна a, а основание AD = c больше основания BC = b. Построена окружность, касающаяся сторон AB, CD и AD.

а) Докажите, что если окружность не пересекает сторону BC, то b + c < 2a.

б) Найдите длину той части средней линии трапеции ABCD, которая находится внутри окружности, если c = 12, b = 6, a = 10.

Задание 18.

Найдите все значения aa, при каждом из которых система уравнений (|x − 1| + |x + 1| − 4)² +(| y− 1| + |y + 1| − 2)² = 4; ay = x + 5 имеет одно или два решения.

Задание 19.

Дано четырёхзначное число abcd, где a, b, c и d – соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём a≠0.

а) Может ли произведение a · b · c · d быть больше суммы a + b + c + d в 5 раза?

б) Цифры a, b, c и d попарно различны. Сколько существует различных чисел abcd таких, что a · b · c · d

в) Известно, что a · b · c · d = k (a + b + c + d), где k – двузначное число. При каком наименьшем значении abcd число k будет наибольшим?

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов