Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №21 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 7 и 4. Найдите среднюю линию трапеции.

Задание 2.

Даны векторы a (6;−1), b (−5;−2) и c (−3;5). Найдите длину вектора a − b + c

Задание 3.

Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны 8. Найдите объем параллелепипеда.

Задание 4.

Вероятность того, что на тестировании по физике учащийся К. верно решит больше 9 задач, равна 0,79. Вероятность того, что К. верно решит больше 8 задач, равна 0,85. Найдите вероятность того, что К. верно решит ровно 9 задач.

Задание 5.

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810г равна 0,96. Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790г, равна 0,93. Найдите вероятность того, что масса буханки окажется больше, чем 790г, но меньше, чем 810г.

Задание 6.

Найдите корень уравнения log₃(5 − 2x) = log₃(1 − 4x) + 1

Задание 7.

Найдите значение выражения sin126° / 4 sin 63° ⋅ sin 27°

Задание 8.

На рисунке изображен график y = f'(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (-2; 20). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [1; 15].

Задание 9.

При адиабетическом процессе для идеального газа выполняется закон pV^k = 1,3122 ⋅ 10⁷Па ⋅ м4, где p – давление в газе в паскалях, V – объем газа в кубических метрах, k = 4/3. Найдите, какой объем V (в куб. м) будет занимать газ при давлении p, равном 1,25 ⋅ 10⁶Па.

Задание 10.

Моторная лодка прошла против течения реки 96 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 10 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Задание 11.

На рисунке изображены части графиков функций f(x) = k/x и g(x)=c / x + d . Найдите ординату точки перечесения графиков этих функций.

Задание 12.

Найдите наименьшее значение функции y = x√x − 27x + 6 на отрезке [1; 422]

Задание 13.

а) Решите уравнение 2sin²x − 3cos(− x) − 3 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2]

Задание 14.

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N – середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если AD = 9, BC = 7, SO = 6, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.

Задание 15.

Решите неравенство 4^x + 112 / 4^x − 32 ⩽ 0

Задание 16.

В июле 2027 года планируется взять кредит на три года в размере 1200 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– платежи в 2028 и 2029 годах должны быть равными;
– к июлю 2030 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в 2030 году составит 673,2 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2028 года?

Задание 17.

В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE = CE.

а) Докажите, что AL : AC = AB : BC.

б) Найдите EL, если AC = 21, tg∠BCA = 0,4.

Задание 18.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (a − x)² + 4a + 1 = (2x + 1)² − 8|x|имеет четыре различных корня.

Задание 19.

Есть три коробки: в первой коробке 112 камней, во второй – 99 камней, а третья – пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться 103 камня, во второй – 99, а в третьей – 9?

б) Могло ли в третьей коробке оказаться 211 камней?

в) Во второй коробке оказалось 4 камня. Какое наибольшее количество камней могло оказаться в третьей коробке?

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов