Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №22 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 30. Найдите длину её средней линии.

Задание 2.

Даны векторы a (2; −5), b (6;3) и c(4;7). Найдите длину вектора a − b − c

Задание 3.

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 18,5. Объём параллелепипеда равен 5476. Найдите высоту цилиндра.

Задание 4.

Вероятность того, что на тестировании по химии учащийся П. верно решит больше 10 задач, равна 0,63. Вероятность того, что П. решит больше 9 задач, равна 0,75. Найдите вероятность того, что П. верно решит ровно 10 задач.

Задание 5.

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810г равна 0,97. Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790г, равна 0,94. Найдите вероятность того, что масса буханки окажется больше, чем 790г, но меньше, чем 810г

Задание 6.

Найдите корень уравнения log₄ (7 + 6x) = log₄ (1 + x) + 2

Задание 7.

Найдите значение выражения 2cos20° ⋅ cos70° / 5sin40°

Задание 8.

На рисунке изображен график y = f'(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (-19;2). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-14;0].

Задание 9.

При адиабетическом процессе для идеального газа выполняется закон pV^k = 8,1 ⋅ 10⁴Па ⋅ м⁴, где p – давление в газе в паскалях, V – объем газа в кубических метрах, k = 4/3. Найдите, какой объем V (в куб. м) будет занимать газ при давлении p, равном 6,25 ⋅ 10⁵Па

Задание 10.

Моторная лодка прошла против течения реки 247 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Задание 11.

На рисунке изображены части графиков функций f(x) = k/x  и g(x) = c/x + d. Найдите абсциссу точки пересечения графиков этих функций.

Задание 12.

Найдите точку максимума функции y = 15 + 21x − 4x√x

Задание 13.

а) Решите уравнение sin 2x − 2 sin (−x) = 1 + cos (−x)

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−7π/2; −2π]

Задание 14.

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N – середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если AD = 8,5, BC = 7,5, SO = 6,5, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.

Задание 15.

Решите неравенство 5^x − 10 ⩾ 225 / 5^x − 10

Задание 16.

В июле 2027 года планируется взять кредит на 3 года в размере 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь действия кредита долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в 2028 и 2029 годах платежи по кредиту равные;
– в 2030 году выплачивается остаток по кредиту.
Найдите платёж 2029 года, если общие выплаты по кредиту составляли 733,5 тыс. рублей.

Задание 17.

В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE = CE.

а) Докажите, что AB : AL = BC : AC.

б) Найдите EL, если AC = 24, tg∠BCA = 0,6.

Задание 18.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 2a² + 3ax − 2x² − 8a − 6x + 10|x| = 0 имеет четыре различных корня.

Задание 19.

Есть три коробки: в первой коробке 95 камней, во второй – 104 камня, а третья – пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в третьей коробке оказаться 199 камней?

б) Могло ли в первой коробке оказаться 100 камня, во второй – 50, а в третьей – 49?

в) Во второй коробке оказалось 2 камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов