Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №24 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

Площадь ромба равна 9. Одна из его диагоналей в 8 раз больше другой. Найдите меньшую диагональ.

Задание 2.

На координатной плоскости изображены векторы a и b. Найдите скалярное произведение векторов a и b

Задание 3.

Длина окружности основания конуса равна 6, образующая равна 4. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Задание 4.

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажира, равна 0,9. Вероятность того, что окажется меньше 9 пассажиров, равна 0,66. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 9 до 17 включительно.

Задание 5.

Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда “Стартер” по очереди играет с командами “Ротор”, Мотор” и “Монтер”. Найдите вероятность того, что “Стартер” будет начинать только вторую игру.

Задание 6.

Решите уравнение cos π(8x + 8)/3 = 1/2 . В ответе запишите наименьший положительный корень.

Задание 7.

Найдите значение выражения 125^3,2 / 25^3,3

Задание 8.

На рисунке изображен график y = f(x). На оси абсцисс отмечено двенадцать точек: x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12. В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции f(x) отрицательна.

Задание 9.

Наблюдатель находится на высоте h, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле l = √Rh/ 500, где R = 6400 (км) – радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии 60 километров? Ответ дайте в метрах.

Задание 10.

Заказ на изготовление 216 деталей первый рабочий выполняет на 6 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на 6 деталей больше второго?

Задание 11.

На рисунке изображен график функции вида f(x) = ax² + bx + c. Найдите ординату точки пересечения графика функции y = f(x) с осью ординат.

Задание 12.

Найдите точку минимума функции y = 10x − ln(x + 11) + 3

Задание 13.

а) Решите уравнение 5^x+√x−1 + 6 ⋅ 5^x−√x+1 − 5^x+1 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [1; 2,56]

Задание 14.

В прямой пятиугольной призме ABCDEA₁B₁C₁D₁E₁ высота равна 2√3, треугольник BCD – правильный, со стороной 6, а четырехугольник ABDE – равнобедренная трапеция со сторонами AB = DE = 2, BD = 6 и AE = 4.

а) Докажите, что плоскости CA₁E₁ и AED₁ перпендикулярны.

б) Найдите объем многогранника CAED₁B₁.

Задание 15.

Решите неравенство log_tg0,9 (log _1/4 (x² − 2)) ⩽ 0

Задание 16.

В июле Борис планирует взять кредит в банке на некоторую сумму. Банк предложил Борису два варианта кредитования.
1-й вариант:
– кредит предоставляется на 3 года;
– в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 10% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний должен погасить долг по кредиту полностью.
2-й вариант:
– кредит предоставляется на 2 года;
– в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 16% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.
Когда Борис подсчитал, то выяснил, что по 1-му варианту кредитования ему придётся выплачивать на 353740 рублей меньше, чем по 2-му варианту. Какую сумму Борис планирует взять в банке?

Задание 17.

Четырёхугольник ABCD со сторонами BC = 14 и AB = CD = 40 вписан в окружность радиусом R = 25.

а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.

б) Найдите AD.

Задание 18.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение log_0,2(6x² + 16ax + 7x + 8a² + 2a − 2)/√4 − 3a − 2x = 0 имеет единственный корень.

Задание 19.

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 8 раз больше, либо в 8 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 4040.

а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

б) Может ли последовательность состоять из четырёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов