Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №28 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

В треугольнике ABC известно, что AC = BC, высота AH = 8, BH = 20. Найдите tg∠BAC.

Задание 2.

На координатной плоскости изображены векторы a, b и c. Найдите длину вектора a – b + c

Задание 3.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A₁,B₁,F₁,E правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 10, а боковое ребро равно 9.

Задание 4.

В группе туристов 32 человека. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 4 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Г. полетит четвертым рейсом вертолёта.

Задание 5.

Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 9. Какова вероятность того, что для этого потребовалось три броска? Ответ округлите до сотых.

Задание 6.

Найдите корень уравнения (1/9)^x+4 = 729

Задание 7.

Найдите значение выражения log₆1,25 ⋅ log_0,86

Задание 8.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-11;2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y = f(x) параллельна или совпадает с прямой y = -4.

Задание 9.

Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1 + 11t − 5t², где h – высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?

Задание 10.

Смешав 41-процентный и 63-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 35-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 45-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 41-процентного раствора использовали для получения смеси?

Задание 11.

На рисунке изображены графики функций f(x) = a√x и g(x) = kx + b, которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки A.

Задание 12.

Найдите наименьшее значение функции y = 6x − 6sin x +17 на отрезке [0; π/2]

Задание 13.

а) Решите уравнение log²₂(8x²) − log₄(2x) − 1 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0,4; 0,8]

Задание 14.

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD относится к боковому ребру как 1 : √2. Через вершину D проведена плоскость α, перпендикулярная боковому ребру SB и пересекающая его в точке M.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α – это четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.

б) Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 6.

Задание 15.

Решите неравенство √x − 2 (4 − 3^x−1) / 2^1−x2 − 3 ⩾ 0

Задание 16.

15 июня 2025 года Данила Сергеевич планирует взять кредит в банке на 4 года в размере целого числа миллионов рублей. Условия его возврата таковы:
– в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 15% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в период с февраля по июнь в каждый из 2026 и 2027 годов необходимо выплатить только начисленные в январе проценты по кредиту;
– в период с февраля по июнь в каждый из 2028 и 2029 годов выплачиваются равные суммы, причем последний платеж должен погасить долг по кредиту полностью.
Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат по кредиту не превысит 20 млн рублей. В ответ запишите количество миллионов.

Задание 17.

Окружность с центром в точке C касается гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты AC и BC в точках E и F. Точка D – основание высоты, опущенной на AB. I и J – центры окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD.

а) Докажите, что E и F лежат на прямой IJ.

б) Найдите расстояние от точки C до прямой IJ, если AC = 2√3, BC = 2.

Задание 18.

Найдите все значения a, при каждом из которых оба уравнения a + x/3 = |x|  и 2a + x = √2a² + 4 ax − x² + 12 имеют ровно по 2 различных корня, и строго между корнями каждого из уравнений лежит корень другого уравнения.

Задание 19.

Трёхзначное число, меньшее 700, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число n.

а) Может ли n равняться 64?

б) Может ли n равняться 78?

в) Какое наибольшее значение может принимать n, если все цифры ненулевые?

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов