Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №29 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

Основания равнобедренной трапеции равны 45 и 24. Тангенс острого угла равен 2/7. Найдите высоту трапеции.

Задание 2.

Даны векторы a(−2;4) и b(2;−1). Известно, что векторы c(xc;yc)и b сонаправленные, а |c| = |a|. Найдите x_c + y_c

Задание 3.

Куб описан около сферы радиуса 12,5. Найдите объем куба.

Задание 4.

Какова вероятность, что последние три цифры номера случайно выбранного паспорта одинаковы?

Задание 5.

Чтобы пройти в следующий тур соревнований, футбольной команде надо набрать хотя бы 9 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 7 очков, в случае ничьей – 2 очка, если проиграет – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,2.

Задание 6.

Найдите корень уравнения √160 / 6 − 7x = 1 1/3

Задание 7.

Найдите значение выражения 2^{4log₄ 12}

Задание 8.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-7; 7). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Задание 9.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 744 МГц. Скорость погружения батискафа vv вычисляется по формуле v = c ⋅ f −f₀ / f + f₀, где c = 1500  м/с – скорость звука в воде, f₀ – частота испускаемых импульсов, f – частота отраженного от дна сигнала, регистрируемая приемником (в МГц). Определите частоту отраженного сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 12 м/с.

Задание 10.

Первый насос наполняет бак за 35 минут, второй – за 1 час 24 минуты, а третий – за 1 час 45 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

Задание 11.

На рисунке изображен график функции f(x) = log_a (x−2). Найдите f(10)

Задание 12.

Найдите точку максимума функции y = (4x² − 36x + 36) e^33−x

Задание 13.

а) Решите уравнение 2 cos x ⋅ sin 2x = 2sin x +cos 2 x

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2]

Задание 14.

Грань ABCD куба ABCDA₁B₁C₁D₁ является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью A₁B₁C₁ является круг, вписанный в четырехугольник A₁B₁C₁D₁.

а) Высота конуса равна h, ребро куба равно a. Докажите, что 3a < h < 3,5a.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и SA₁D, где S – вершина конуса.

Задание 15.

Решите неравенство 4log _0,25 (1 − 4x) − log_√2 (−1 − x) + 4log₄( x² − 1) ⩽ log₂x²

Задание 16.

В июле Егор планирует взять кредит на 3 года на целое число миллионов рублей. Два банка предложили Егору оформить кредит на следующих условиях:
– в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на некоторое число процентов (ставка плавающая – может быть разным для разных годов);
– в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причем последний платеж должен погасить долг по кредиту полностью.
В первом банке процентная ставка по годам составляет 15, 20 и 10 процентов соответственно, а во втором – 20, 10 и 15 процентов. Егор выбрал наиболее выгодное предложение. Найдите сумму кредита, если эта выгода по общим выплатам по кредиту составила от 13 до 14 тысяч рублей. В ответ запишите количество миллионов.

Задание 17.

На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки K и N соответственно. Около четырёхугольников AKND и BCNK также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника ABCD равен 0,25.

а) Докажите, что четырёхугольник ABCD является равнобедренной трапецией.

б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника AKND, если радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, равен 8, AK : KB = 2 : 5, а BC< AD и BC = 4.

Задание 18.

Найдите все такие значения a, при каждом из которых уравнение √10x² + x − 24 ⋅ log₂((x − 3)(a + 5) + 14) = 0 имеет ровно два различных корня.

Задание 19.

Есть три коробки: в первой – 97 камней; во второй – 80, а в третьей коробке камней нет. Берут по одному камню из двух коробок и кладут их в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться 58 камней, во второй – 59, а в третьей – 60?

б) Может ли в первой и второй коробке камней оказаться поровну?

в) Какое наибольшее количество камней может оказаться во второй коробке?

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов