Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №30 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

Основания равнобедренной трапеции равны 45 и 14. Высота трапеции равна 9,3. Найдите тангенс острого угла.

Задание 2.

Даны векторы a(4;−6) и b(−2;3). Известно, что |c| = |a|, а векторы c (x_c; y_c) и b противоположно направленные. Найдите x_c + y_c

Задание 3.

Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 2,5. Найдите площадь его поверхности.

Задание 4.

Рассмотрим случайный телефонный номер. Какова вероятность того, что среди трёх последних цифр этого номера хотя бы две цифры одинаковы?

Задание 5.

Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Задание 6.

Найдите корень уравнения √50 / 5x + 45 = 1 1/4

Задание 7.

Найдите значение выражения 2^12log₈5

Задание 8.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-9;5). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Задание 9.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 217 МГц. Скорость погружения батискафа vv вычисляется по формуле v = c ⋅ f −f₀ / f + f₀, где c = 1500 м/с – скорость звука в воде, f₀ – частота испускаемых импульсов, f – частота отраженного от дна сигнала, регистрируемая приемником (в МГц). Определите частоту отраженного сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 12 м/с.

Задание 10.

Боря и Ваня могут покрасить забор за 10 часов. Ваня и Гриша могут покрасить этот же забор за 15 часов, а Гриша и Боря – за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроём?

Задание 11.

На рисунке изображен график функции f(x) = log_a (x + 3). Найдите значение x, при котором f(x) = 16.

Задание 12.

Найдите наименьшее значение функци y = e^2x − 9e^x − 3 на отрезке [0; 3].

Задание 13.

а) Решите уравнение 2 sin x ⋅ sin 2x = 2 cos x + cos 2x

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−5π/2; −π]

Задание 14.

Грань ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью A₁B₁C₁ является круг, вписанный в четырехугольник A₁B₁C₁D₁; AB = a, AA₁ = √2a.

а) Высота конуса равна h. Докажите, что 4,5a < h < 5a.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и SD₁C, где S – вершина конуса.

Задание 15.

Решите неравенство log₅x² + 4log₂₅ (6 − 2x) ⩾ log √₅ (x² − 4) + 2log_0,2(2 − x)

Задание 16.

В июле Анна планирует взять кредит на 3 года на целое число миллионов рублей. Два банка предложили Анне оформить кредит на следующих условиях:
– в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на некоторое число процентов (ставка плавающая – может быть разным для разных годов);
– в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причем последний платеж должен погасить долг по кредиту полностью.
В первом банке процентная ставка по годам составляет 10, 20 и 15 процентов соответственно, а во втором – 15, 10 и 20 процентов. Анна выбрала наиболее выгодное предложение. Найдите сумму кредита, если эта выгода по общим выплатам по кредиту составила от 14 до 15 тысяч рублей. В ответ запишите количество миллионов.

Задание 17.

На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки K и N соответственно. Около четырёхугольников AKND и BCNK также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника ABCD равен 0,2.

а) Докажите, что прямые KN и AD параллельны.

б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BCNK, если радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, равен 7, AK : KB = 9 : 10, а BC < AD и BC = 10.

Задание 18.

Найдите все такие значения a, при каждом из которых уравнение √10x² − 19x − 15 ⋅ log₃(7 − (a − 4) (x + 2)) = 0 имеет ровно два различных корня.

Задание 19.

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 7735.

а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

б) Может ли последовательность состоять из шести членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов