Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №31 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

В тупоугольном треугольнике ABC известно, что AC=BC=10, высота AH равна √51. Найдите косинус угла ACB.

Задание 2.

На координатной плоскости изображены векторы a и b. Найдите скалярное произведение a⋅b

Задание 3.

Цилиндр вписан в правильную четырехугольную призму. Радиус основания и высота цилиндра равны 3. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Задание 4.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме “Тригонометрия”, равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос по теме “Внешние углы”, равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Задание 5.

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, вторая -70%. Среди стекол, выпущенных на первой фабрике, 5% бракованные, а на второй – 4% бракованные. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Задание 6.

Найдите корень уравнения 4^5x+2 = 0,8 ⋅ 5^5x+2

Задание 7.

Найдите значение выражения 5 sin61° / sin299°

Задание 8.

На рисунке изображен график y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Задание 9.

При температуре 0° C рельс имеет длину l₀ =10м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(t°) = l₀(1 + a ⋅ t°) , где a=1,2⋅10⁻⁵(°C)⁻¹ – коэффициент теплового расширения, t° – температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Задание 10.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 105 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Задание 11.

На рисунке изображен график функции f(x) = ax² + bx + c, где числа a, b и c – целые. Найдите f(−5).

Задание 12.

Найдите наименьшее значение функции y = 4/3 x√x − 3x + 9 на отрезке [0,25; 30]

Задание 13.

а) Решите уравнение 2sin³(π + x) = 1/2cos (x − 3π/2)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−7π/2; −5π/2]

Задание 14.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 16, высота SH равна 10. Точка K – середина бокового ребра SA. Плоскость, параллельная плоскости ABC, проходит через точку K и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и P соответственно.

а) Докажите, что площадь четырехугольника BCPQ составляет 3/4 площади треугольника SBC.

б) Найдите объем пирамиды KBCPQ.

Задание 15.

Решите неравенство (4^x − 5 ⋅ 2^x)² − 20 (4^x − 5 ⋅ 2^x) ⩽ 96

Задание 16.

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:
– в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, еcли общая сумма выплат после полного его погашения составит 1125 тысяч рублей?

Задание 17.

Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причём AE = ED = CD, а прямые AC и BE перпендикулярны. Отрезки AC и BD пересекаются в точке T.

а) Докажите, что прямая EC пересекает отрезок TD в его середине.

б) Найдите площадь треугольника ABT, если BD = 6, AE = √6.

Задание 18.

Найдите все значения параметра aa, при каждом из которых уравнение |x² − a²| = |x + a|⋅√x² − 4a x + 5a имеет ровно один корень.

Задание 19.

На доске написано три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье сумме цифр второго.

а) Может ли сумма этих число быть равна 2022?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2021?

в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 2. Сколько существует таких троек?

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов