Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №32 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

В тупоугольном треугольнике ABC известно, что AC = BC, высота AH равна 3, CH = √7. Найдите синус угла ACB.

Задание 2.

На координатной плоскости изображены векторы a и b. Найдите скалярное произведение a ⋅ b

Задание 3.

Цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму. Радиус основания цилиндра равен √3, а высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Задание 4.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме “Вписанная окружность”, равна 0,25. Вероятность того, что это вопрос по теме “Площадь”, равна 0,3. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Задание 5.

Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 25% этих стёкол, вторая – 75%. Первая фабрика выпускает 5% бракованных стёкол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Задание 6.

Найдите корень уравнения 9^2x+5 = 3,24 ⋅ 5^2x+5

Задание 7.

Найдите значение выражения 4cos121° / cos59°

Задание 8.

На рисунке изображён график y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Задание 9.

При температуре 0°C  рельс имеет длину l₀ = 15 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, изменяется по закону l(t°) = l₀(1+α⋅t°), где α=1,2⋅10⁻⁵(°C)⁻¹ – коэффициент теплового расширения, t° – температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 7,2 мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.

Задание 10.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 135 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 9 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Задание 11.

На рисунке изображён график функции f(x)=ax² + bx + c. Найдите f(−9).

Задание 12.

Найдите точку минимума функции y = 4/3 x√x − 5x + 4

Задание 13.

а) Решите уравнение 2 cos³ (x − π) = sin (3π/2 + x)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [9π/2; 11π/2]

Задание 14.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 10, высота SH равна 12. Точка K – середина бокового ребра SD. Плоскость AKB пересекает боковое ребро SC в точке P.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника CDKP составляет 3/4 площади треугольника SCD.

б) Найдите объём пирамиды ACDKP.

Задание 15.

Решите неравенство (25^x − 4 ⋅ 5^x)² + 8 ⋅ 5^x < 2 ⋅ 25^x + 15

Задание 16.

В июле 2023 года планируется взять кредит в банке на 10 лет. Условия его возврата таковы:
– каждый январь с 2024 по 2028 год долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;
– каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1470 тысяч рублей?

Задание 17.

Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причём BC = CD = DE, а прямые AC и BE перпендикулярны. Точка K – пересечение прямых BE и AD.

а) Докажите, что прямая CE делит отрезок KD пополам.

б) Найдите площадь треугольника ABK, если AD = 4, DC = √3

Задание 18.

Найдите все значения aa, при каждом из которых уравнение |x² − a²| = |x + a| ⋅ √x² − 5ax + 4a имеет ровно два различных корня.

Задание 19.

На доске написано три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 3456?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2345?

в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 5. Сколько существует таких троек?

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов