Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №4 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 36°. Найдите угол между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Задание 2.

На координатной плоскости изображены векторы a и b. Найдите длину вектора 6a – b

Задание 3.

Даны два шара. Радиус первого в 1,8 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?​

Задание 4.

В классе 26 учащихся, среди них два друга – Андрей и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в разных группах.

Задание 5.

По условиям лотереи выигрышных билетов в ней всего на 20% меньше, чем билетов без выигрыша. Какое наименьшее количество билетов нужно купить, чтобы среди них с вероятностью больше, чем 0,75 оказался выигрышный билет?

Задание 6.

Найдите корень уравнения (5 − x²)⁴ = 256. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Задание 7.

Найдите значение выражения 6 ⋅ ⁶√243 ⋅ ³⁰√243

Задание 8.

Прямая y = 9x – 5 является касательной к графику функции y = x² + 7x + c. Найдите c.

Задание 9.

Водолазный колокол, содержащий ν = 13 молей воздуха при давлении p₁ = 1,2 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления p₂ (в атмосферах). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле A = aν Tlog₂ p2/p1, где a = 15 Джмоль/моль ⋅ К – постоянная, T = 300  – K температура воздуха. Найдите, какое давление p2 (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 117000 Дж.

Задание 10.

Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 12 рабочих, во второй 21 рабочий. Через 10 дней после начала работы в первую бригаду перешли 12 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.

Задание 11.

На рисунке изображен график функции f(x) = a^x + b. Найдите f (−4)

Задание 12.

Найдите точку минимума функции y = 5x − ln(x + 4)⁵+ 9

Задание 13.

а) Решите уравнение 3cos² (x/2 + π/4) ⋅ cos² (x/2 – π/4) = cos⁴ x

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π;4π]

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

Задание 14.

В правильной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁​E₁F₁ на ребре CC₁ отметили точку K так, что CK : KC₁ = 4 : 1. Через точки K и D₁ параллельно прямой DF₁ провели плоскость α.

а) Докажите, что плоскость α пересекает ребро B₁C₁ в его середине.
б) Найдите угол между плоскостями AFF₁ и α, если AB = 4, AA₁ = 15. Ответ дайте в градусах.

Задание 15.

Решите неравенство 3^x ⋅ log₅x + 5^xlog₃x > 3 ⋅ 5^x−1log₅x + 5 ⋅ 3^x−1log₃x

Задание 16.

В июне 2028 планируется взять кредит на 10 лет в размере 1500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 22% по сравнению с концом предыдущего года;
– каждый январь с 2034 по 2038 год долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июне каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июнь предыдущего года;
– к июню 2038 года кредит должен быть полностью погашен.
На сколько рублей последняя выплата будет меньше выплаты 2033 года?

Задание 17.

В параллелограмме ABCD с острым углом BAD точка E – середина стороны BC. Через точку B перпендикулярно прямой AB и через точку E перпендикулярно прямой DE проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке K.

а) Докажите, что AK=KD.
б) Найдите угол ADE, если расстояние от точки К до прямой AD равно длине oтрезка EC и ∠ADC=110°. Ответ дайте в градусах.

Задание 18.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений |x| − |y| = a; x − 4 = √9 – y имеет ровно два различных решения.

Задание 19.

Есть 60 карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше 1. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на 3 – красную, если на 4 – синюю, если на 5 – зелёную. Получилось так, что на каждой карточке поставлено не менее двух цветовых отметок.

а) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше 200?
б) Получилось, что на k карточках только синяя и зелёная отметки, на k карточках – только синяя и красная, на k карточках – только красная и зелёная. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.
в) Карточек с двумя отметками, одна из которых синяя, получилось 37. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов.