Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №5 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, BC = 8 и CD = 14. Найдите четвертую сторону четырехугольника.

Задание 2.

Даны векторы a (−3; −2) и b (3 ; b₀). Найдите b₀, если a ⋅ b = 0

Задание 3.

В сосуде, имеющем форму правильной треугольной призмы, уровень жидкости достигает 120 см. На какой высоте будет находится уровень жидкости, если её перелить в другой сосуд такой же формы, сторона основания которого в 4 раза больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах.

Задание 4.

На олимпиаде по физике 250 участников собираются разместить в четырёх аудиториях: в трёх по 70 человек, а оставшихся – в запасной аудитории в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник будет писать олимпиаду в запасной аудитории.

Задание 5.

На двух линиях выпускают одинаковые лампы. Первая линия выпускает в три раза больше ламп, чем вторая, но вероятность брака на первой линии равна 0,1, а на второй – 0,06. Все лампы поступают на склад. Найдите вероятность того, что случайно выбранная лампа на складе окажется не бракованной.

Задание 6.

Найдите корень уравнения 4^x−5 = 8^4x−2

Задание 7.

Найдите значение выражения (1 − log₅15) (1 − log₃15)

Задание 8.

На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (-8; 6). Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) отрицательна.

Задание 9.

Два тела массой m = 10 кг каждое движутся с одинаковой скоростью v = 8 м/с под углом 2α друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле Q = mv²sin²α, где m – масса в килограммах, v – скорость в м/с. Найдите, под каким наименьшем углом 2α (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее 480 джоулей.

Задание 10.

Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист. Через 20 минут он еще не вернулся в пункт А, и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 46 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 46 км. Ответ дайте в км/ч.

Задание 11.

На рисунке изображены графики функций f(x) = kx + b, которые пересекаются в точке A(x₀; y₀). Найдите y₀.

Задание 12.

Найдите точку минимума функции y = 4x ^3/2 − 15x + 3

Задание 13.

а) Решите уравнение log²0,5(x²) − 4log₈(x⁴) = 1
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-0,9; 2,9]

Задание 14.

Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA является высотой пирамиды. На рёбрах BC, CD и SC соответственно отмечены точки K, N и F так, что BK : KC = CN : ND = 1 : 2, CF : FS = 2 : 7.

а) Докажите, что плоскости ABC и FNK перпендикулярны.
6) Найдите объём пирамиды AFNK, если AB = AS = 6.

Задание 15.

Решите неравенство 2 ^1/x ⋅ 5^x ⩽ 0,1

Задание 16.

Предприятие планирует 1 июня 2027 года взять в банке кредит на 2 года в размере 8400 тыс. рублей. Банк предложил предприятию два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.

Задание 17.

В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону BC в точке K, a продолжение стороны DC – в точке P; диагональ AC является биссектрисой угла KAD.

а) Докажите, что PC²=CD·PK.
6) Haйдите AC:AP, ecли BC:AB=2,5.

Задание 18.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений (x+4)²+(4−y)²=0,1a² -4 (x + 1) – 4 (y – 1)

|2x − 3| − |4 − y| = 5 имеет poвно два решения.

Задание 19.

Каждый год в соревнованиях, состоящих из 10 этапов, участвует 10 спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен – второе и один – третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает a первых, b вторых и c третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований.
В этом году по итогам 10 этапов каждому спортсмену присваивается 10a+4b+c очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше. Если количество очков у спортсменов совпадает, то рейтинги у них одинаковые.
​В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом: если у спортсмена-1 количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно a₁, b₁ и c₁, а у спортсмена-2 – a₂, b₂ и c₂, то рейтинг спортсмена-1 был выше peйтинга спортсмена-2 в следующих случаях:
​- a₁>a₂,
– a₁=a₂ и b₁>b₂,
– a₁=a₂, b₁=b₂ и c₁>c₂.
​Ecли количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.

​a) В этом году по итогам соревнований у спортсменов нет совпадающих peйтингов. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то у спортсменов бы тоже не было совпадающих рейтингов. Может ли порядок рейтингов спортсменов этом году совпадать с порядком рейтингов прошлого года?
​б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Какая наибольшая разница в очках может быть между двумя наименьшими рейтингами?
​в) Каждый год по результатам соревнований вычисляется средний балл Q для спортсменов, набравших хотя бы одно очко: отношение суммы всех набранных очков к количеству спортсменов, набравших хотя бы одно очко. В следующем году планируется проводить аналогичные соревнования (10 этапов) с участием 10 спортсменов, где каждому из них будут присваиваться 10a+k₁b+k₂c очков. Организаторы обсуждают в данной формуле целые значения k₁ и k₂, такие, что 1≤k₂< k₁≤9. Найдите все пары (k₁;k₂), при которых возможно получить наибольшее количество целых значений среднего балла Q.

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов.