Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №6 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

В четырехугольник ABCD, периметр которого равен 36, вписана окружность, AB = 7. Найдите CD.

Задание 2.

Даны векторы a (−5 ; −2)  и b (b0 ; −1). Найдите b₀, если a ⋅ b = 0

Задание 3.

В сосуде, имеющем форму правильной треугольной призмы, уровень жидкости достигает 180 см. На какой высоте будет находится уровень жидкости, если её перелить в другой сосуд такой же формы, сторона основания которого в 5 раз больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах.

Задание 4.

На олимпиаде по физике 400 участников собираются разместить в четырёх аудиториях: в трёх – по 110 человек, а оставшихся – в запасной аудитории в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник будет писать олимпиаду в запасной аудитории.

Задание 5.

На двух линиях выпускают одинаковые лампы. Первая линия выпускает в два раза больше ламп, чем вторая, но вероятность брака на первой линии равна 0,1, а на второй – 0,04. Все лампы поступают на склад. Найдите вероятность того, что случайно выбранная лампа на складе окажется не бракованной.

Задание 6.

Найдите корень уравнения 16^8x+2 = 8^{5 − x}

Задание 7.

Найдите значение выражения log₂40 / 3 + log₂5

Задание 8.

На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (-1; 10). Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) отрицательна.

Задание 9.

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью v = 3,6м/с под острым углом α к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью u = m/ m + M ⋅ v ⋅ cos α  (м/с), где m = 75кг − масса скейтбордиста со скейтом, а M = 375кг − масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,3м/с?

Задание 10.

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 22 круга по кольцевой трассе протяженностью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 11 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 10 минут? Ответ дайте в км/ч.

Задание 11.

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Задание 12.

Найдите наибольшее значение функции y = 3x − 1 − 4x√x  на отрезке [0;8,25]

Задание 13.

а) Решите уравнение log²25(x⁴) + log_0,2(x⁸) + 3 = 0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2,3;11,3]

Задание 14.

Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA является высотой пирамиды. На рёбрах BC, CD и SC соответственно отмечены точки K, N и F так, что BK : KC = CN : ND = 3 : 1, CF : FS = 3 : 13.

а) Докажите, что прямая AS параллельна плоскости FNK.
6) Найдите объём пирамиды SFNK, если AB = AS = 8.

Задание 15.

Решите неравенство 2^2x ⋅ 5^1/x ⩾ 20

Задание 16.

Предприятие планирует 1 июня 2029 года взять в банке кредит на 2 года в размере 8,8 млн рублей. Банк предложил предприятию два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.

Задание 17.

В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону BC в точке K, a продолжение стороны DC – в точке P; диагональ AC является биссектрисой угла KAD.

а) Докажите, что PC² = CD · PK.
6) Haйдите AC : AP, ecли AB : BC = 3 : 8.

Задание 18.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений (6 − x)² + (y + 6)²=(0,5 − a)² − 2(x + y + 1) ; |x + 2| − |1 − 2y| = 3  имеет poвно четыре решения.

Задание 19.

Каждый год в соревнованиях, состоящих из 10 этапов, участвует 10 спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен – второе и один – третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает a первых, b вторых и c третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований.
В этом году по итогам 10 этапов каждому спортсмену присваивается 10a+4b+c очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше. Если количество очков у спортсменов совпадает, то рейтинги у них одинаковые.
​В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом: если у спортсмена-1 количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно a₁, b₁ и c₁, а у спортсмена-2 – a₂, b₂ и c₂, то рейтинг спортсмена-1 был выше peйтинга спортсмена-2 в следующих случаях:
​- a₁> a₂,
– a₁=a₂ н b₁>b₂ ,
– a₁=a₂, b₁=b₂ и c₁>c₂.
​Ecли количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.

​a) В этом году по итогам соревнований и наивысший, и наименьший рейтинги имеют ровно по одному спортсмену. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то наивысший и наименьший рейтинги имели бы тоже ровно по одному спортсмену. Может ли спортсмен, получивший в этом году наивысший рейтинг, по расчётам прошлого года иметь наименьший рейтинг?
​б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов, а модуль разности набранных очков у любых двух спортсменов не меньше p. Найдите наибольшее возможное значение p.
​в) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Найдите наименьшую возможную разницу между средними арифметическими значениями набранных очков у пяти спортсменов с наибольшими рейтингами и у пяти спортсменов с наименьшими рейтингами.

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов.