Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №8 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

В треугольнике со сторонами 16 и 20 проведены высоты к этим сторонам. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 14. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника.

Задание 2.

На координатной плоскости изображены векторы a, b и c, координаты этих векторов – целые числа. Найдите скалярное произведение (a+b)⋅c

Задание 3.

Шар вписан в цилиндр. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24. Найдите площадь поверхности шара.

Задание 4.

За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 девочек и 2 мальчика. Найдите вероятность того, что мальчики не будут сидеть рядом.

Задание 5.

Игральный кубик бросают два раза. Во сколько раз вероятность события «оба раза выпадет нечётное количество очков» больше вероятности события «выпадет разное нечётное количество очков»?

Задание 6.

Найдите корень уравнения √9/3x + 7 = 1,2. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Задание 7.

Найдите значение выражения 8^0,45 ⋅ 32^0,33

Задание 8.

На рисунке изображён график y = f'(x) – производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, принадлежащей отрезку [-4;2], в которой касательная к графику y = f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Задание 9.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h=5t², где h – расстояние в метрах, t – время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,9 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,4 с? Ответ выразите в метрах.

Задание 10.

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 60 кг изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Задание 11.

На рисунке изображён график функции f(x) = c + log_ax. Найдите значение x, при котором f(x) = 1

Задание 12.

Найдите точку максимума функции y = x² + 11x + 49/x

Задание 13.

а) Решите уравнение 4cos³x − 6cosx / cos(2x − π/2) = 3
​б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 4π]

Задание 14.

В правильной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания ABC равна 2√2, а боковое ребро AA₁ равно 3√2. На рёбрах AA₁, BB₁ и A₁C₁ отмечены точки N, K и P так, что AN : NA₁ = B₁K : KB = C₁P : PA₁ = 2 : 1. Плоскость KNP пересекает ребро B₁C₁ в точке F.

а) Докажите, что точка F – середина ребра B₁C₁.

б) Найдите расстояние от точки F до плоскости CNK.

Задание 15.

Решите неравенство 64^x − 4^1,5x+1 + 1/8^x − 4 ⩽ 8^x − 2 + 9/8^x − 2

Задание 16.

В июне 2028 года планируется взять кредит в банке на 1,6 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:
– в январе каждого года долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июне 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июнь предыдущего года;
– в июне 2032 года выплачивается остаток по кредиту в размере 468 тыс. рублей.
Найдите r, если общая сумма выплат составит 2280 тыс. рублей.

Задание 17.

В треугольнике ABC точки N и P – середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок NP касается окружности, вписанной в треугольник ABC.

а) Докажите, что периметр треугольника ABC равен 4AC.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если его периметр равен 24, а ∠BAC=60°.

Задание 18.

Найдите все значения a, при которых система неравенств (x + 2a)² + (a − y)² ⩽ 5 − a; x + y ⩽ |a + 2|имеет единственное решение.

Задание 19.

Есть 4 камня, каждый массой по 100 тонн, 5 камней, каждый массой по 25 тонн, и 6 камней, каждый массой по 4 тонны.

а) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарные массы этих групп были равны?
б) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарная масса первой группы была на 50 тонн больше суммарной массы второй группы, но на 50 тонн меньше суммарной массы третьей группы?
в) Все камни хотят разложить на три группы с суммарными массами m1, m2 и m3 так, что m1⩾m2⩾m3. Найдите наименьшее такое число d, что m1−m2⩽d, m2−m3⩽d.

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов.