Решение и ответы Ященко ЕГЭ 2025 (профиль) Вариант №9 (36 вариантов) Математика.

Задание 1.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 73°, угол CAD равен 55°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Задание 2.

Даны векторы a(−6; −8) и b(12; 9). Найдите косинус угла между ними.

Задание 3.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, D, E₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 18, а боковое ребро равно 6.

Задание 4.

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменов: 17 из Перу, 22 из Чили, остальные из Мексики. Порядок, в котором выступают гимнасты, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Мексики.

Задание 5.

Из 10 билетов 2 являются выигрышными. Наугад берут 4 билета. Найдите вероятность того, что среди них окажется ровно один выигрышный. Ответ округлите до сотых.

Задание 6.

Найдите корень уравнения log₂(4 − 5x) = 3log₂3

Задание 7.

Найдите значение выражения 5 sin 7π/12 ⋅ cos 7π/12

Задание 8.

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённый на интервале (-4;7). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Задание 9.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: FA=ρgl3, где ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, g – ускорение свободного падения (считайте g = 9,8 Н/кг), а l – длина ребра куба в метрах. Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше чем 893 025 Н? Ответ дайте в метрах.

Задание 10.

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 9 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 2 дня выполняет такую же часть работы, какую второй – за 3 дня?

Задание 11.

Найдите точку максимума функции y = (2x − 3) cos x − 2 sin x + 17 на промежутке (0; π/2)

Задание 12.

а) Решите уравнение √4x² − 1 ⋅ (4^3x+1 − 26 ⋅ 8^x + 12) = 0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−1; 1]

Задание 13.

а) В правильной пирамиде SABC с вершиной S на стороне основания AC и боковом ребре SB отметили соответственно точки E и N такие, что AE : EC = SN : NB = 1 : 2. Через точки E и N параллельно прямой AB провели плоскость α.
а) Докажите, что сечением пирамиды SABC плоскостью α является равнобедренная трапеция.
б) Плоскость α разделила пирамиду SABC на два многогранника. Найдите объём того из них, в котором одной из вершин является точка A, если AB = 6, AS = 3√3.

Задание 14.

Решите неравенство x² ⋅ log₁₂₅ (2 − 3x) + log_0,2(9x² − 12x + 4) < 0

Задание 15.

В июле 2029 года планируется взять кредит на 5 лет в размере 910 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле 2030 и 2031 годов долг остаётся равным 910 тыс. рублей;
– выплаты в 2032, 2033 и 2034 годах равны;
– к июлю 2034 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат по кредиту.

Задание 16.

В квадрате ABCD на диагонали BD и на сторонах AB и BC отметили соответственно точки P, E и F такие, что BE=BF, а прямая, проходящая через точку P параллельно прямой AC, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника EBFP и в четыре раза меньше площади квадрата.

а) Докажите, что если BP · BE = √2, то AB = 2.
б) Найдите отношение площадей треугольников EPF и EBF.

Задание 17.

Найдите все a, при которых система √a + x² = √a + y², x² + y² = 2x + 2|y| + 4 имеет ровно два решения.

Задание 18.

Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1, 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:
– к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;
– вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.
а) Может ли сумма чисел первого набора быть на 6 меньше суммы чисел второго набора?
б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза больше суммы чисел второго набора?
в) Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел второго набора к сумме чисел первого набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2025. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В Ященко. 36 Вариантов