Решения и ответы на задания для всех регионов: Дальний Восток, Сибирь, Урал, Москва, Центр и другие, по ЕГЭ по математике (профильный уровень), состоявшемуся 27 мая 2025 года, День 2. Основная волна, КИМ, ДВ, МСК. Настоящий вариант.

Все материалы собраны из открытых источников и публикуются в учебных целях после завершения экзамена.

Источник варианта: Основная волна ЕГЭп 2025 27.05.2025 День 2.

Задание 1

Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 67°. Найдите угол между высотой CH и биссектрисой CD, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

ИЛИ

Острый угол В прямоугольного треугольника равен 50°. Найдите угол между высотой СН и медианой СМ, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

ИЛИ

Известно, что в треугольнике ABC стороны AB и BC равны. Внешний угол при вершине B равен 138°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Задание 2

Даны векторы а (3,5; 4) и b(–6; 7). Найдите скалярное произведение a ⋅ b

Задание 3

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен 10√2. Найдите образующую конуса.

ИЛИ

Площадь поверхности шара равна 24. Найдите площадь большого круга шара.

Задание 4

Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 50 докладов: первые два дня по 13 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвёртым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется
жеребьевкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

ИЛИ

На олимпиаде по математике 400 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 140 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

ИЛИ

Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 60 выступлений – по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 24 выступления, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?

Задание 5

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,25. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,1. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

ИЛИ

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,97. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,94. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.

ИЛИ

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Задание 6

Найдите корень уравнения 9^6+x = 81.

ИЛИ

Решите уравнение (1/7)^x-5 = 49 .

Задание 7

Найдите значение выражения log₈14 / log₆₄14

ИЛИ

Найдите значение выражения log₂729 / log₂9

ИЛИ

Найдите значение выражения log 6√₁₃ 13.

Задание 8

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x . Найдите значение производной функции f(x) в точке x .

ИЛИ

На рисунке изображён график у = f′(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (–5; 12). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [–4; 9].

Задание 9

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением а км/ч². Скорость v вычисляется по формуле u = √2la, где l – пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,9 километра, приобрести скорость 150 км/ч. Ответ дайте в км/ч².

ИЛИ

Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h км над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле l = √2Rh , где R = 6400 км – радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 64 км? Ответ выразите в километрах.

Задание 10

От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 208 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 3 часа после этого следом за ним со скоростью на 3 км/ч большей оправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

ИЛИ

Два автомобиля одновременно отправляются в 475-километровый пробег. Первый едет со скоростью, на 18 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

ИЛИ

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 280 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 17 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Задание 11

На рисунке изображён график функции f(x) = k/x и g(x) = ax + b, которые пересекаются в точках А и В. Найдите ординату точки В.

ИЛИ

На рисунке изображены графики функций видов f(x) = ax² + bx + c и g(x) = kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

ИЛИ

На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке A. Найдите абсциссу точки A.

Задание 12

Найдите точку максимума функции y = x³ + 18x² + 81x + 23.

Задание 13

а) Решите уравнение 2sinx + 2√3sin(–x) – 4cos² x = √3 – 4.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [2π; 7π/2].

Задание 14

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на ребрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что AM = 5MA₁ , A₁K = KB₁ . Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно грани ABB₁A₁ .

а) Докажите, что плоскость α проходит через вершину C₁ .

б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью α, если все ребра призмы равны 12

Задание 15

Решите неравенство 2^3x −2 ⋅ 4^x+1 +5 ⋅ 2 ^x+2 – 16 / x − 1 ≥ 0

Задание 16

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн. рублей на некоторое целое число лет. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 15 млн. рублей?

Задание 17

Дан остроугольный треугольник ABC. Известно, что ∠BAC = 2∠ABC. Точка O – центр описанной окружности треугольника ABC. Вокруг треугольника AOC описана окружность, которая пересекает сторону BC в точке P.

a) Докажите, что треугольники ABC и PAC подобны.

б) Найдите AB, если BC = √21 и AC = 3.

Задание 18

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a(x + 4/x )² + 2(x + 4/x ) − 49a + 14 = 0 имеет ровно два различных корня.

Задание 19

На доске записано k последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 20, меньше, чем чисел, делящихся на 23.

a) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 20?
б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 20?
в) Найдите наибольшее возможное значение k.