Решите уравнение (х – 3)⁴ – 3(х – 3)² – 10 = 0.

Источник: ЕГЭ ОГЭ по математике Под редакцией И.В. Ященко.

Решение:

(х – 3)⁴ – 3(х – 3)² – 10 = 0

Совершим замену: Z = (x – 3)²:

Z² – 3 ∙ Z – 10 = 0

Решим через дискриминант:

D = b² – 4 ∙ a ∙ c = (-3)² – 4 ∙ 1 ∙ (-10) = 9 + 40 = 49 = 7²

Z₁ = (3 – √49) / (2 ∙ 1) = (3 – 7) / 2 = – 4/2 = – 2

Z₂ = (3 + √49) / (2 ∙ 1) = (3 + 7) / 2 = 10/2 = 5

Поскольку (x – 3)² ≠ – 2 (число в квадрате не может быть отрицательным), Z₁ лишено смысла.

Совершим обратную замену для Z₂ :

(x – 3)² = 5;

x – 3 = √5 и x – 3 = – √5;

х = 3 + √5 и х = 3 – √5.

Ответ: 3-√5, 3+√5