Решение и ответы заданий варианта МА2410109 СтатГрад ЕГЭ 2025 по математике (профильный уровень). Тренировочная работа №1. ГДЗ профиль для 11 класса.

Задание 1.
В равнобедренном треугольнике ABC угол С равен 30°. Боковые стороны AC = BC = 14. Найдите площадь этого треугольника.

Задание 2.
Даны векторы a (–10; 3), b(–1; –6) и c (–2; 6). Найдите скалярное произведение векторов a + b и c.

Задание 3.
Площадь поверхности куба равна 128. Найдите длину его диагонали.

Задание 4.
Термометр измеряет температуру в помещении. Вероятность того, что температура окажется
выше +18 °C, равна 0,82. Вероятность того, что температура окажется ниже +21 °C, равна 0,65. Найдите вероятность того, что температура в помещении окажется в промежутке от +18 °C до +21 °C.

Задание 5.
На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 85% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Задание 6.
Решите уравнение 1/5х² = 16 1/5 . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Задание 7.
Найдите значение выражения 32√2cos π/4 cos2π/3

Задание 8.
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−1; 12). Определите
количество целых точек, в которых производная функции f(x) положительна.

Задание 9.
Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону v(t) = 10sin пt/5 (см/с), где – время в секундах. Какую долю времени первых трёх секунд скорость движения превышала 5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Задание 10.
Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 280 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 4 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 8 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Задание 11.
На рисунке изображён график функции f(x) = kx + b. Найдите значение x, при котором f(x) = 16.

Задание 12.
Найдите наименьшее значение функции. y = √x² − 14x + 149

Задание 13.
а) Решите уравнение 2sin³x – √3cos²x = 2sinx.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку. [−4π; −5π/2 ]

Задание 14.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 16, а боковое ребро SA равно 14. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = 4, SK = 2. Плоскость α перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и K.

а) Докажите, что плоскость содержит точку C.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α

Задание 15.
Решите неравенство. 2x⁴ – 8x³ + 8x² / x² + x – 6 – x³ – 2x² – 2x – 7 / x + 3 > 1

Задание 16.
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита на 54040 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Задание 17.
Две окружности касаются внутренним образом в точке C. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает бóльшую окружность в точке E, а
прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 3,5 и 12.

Задание 18.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (x² + 3x – a)² = 2x⁴ + 2(3x – a)² имеет единственное решение на отрезке [0; 2]

Задание 19.
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 7, к каждому числу из второй группы – цифру 9, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 2 раза?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 19 раз?
в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое
наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?

Источник варианта: СтатГрад/statgrad.org. https://statgrad.org