Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD относится к боковому ребру как 1:√2. Через вершину D проведена плоскость α, перпендикулярная боковому ребру SB и пересекающая его в точке M.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α – это четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.
б) Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 6.

Источник: ЕГЭ ОГЭ по математике Под редакцией И.В. Ященко.

Решение:

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α – это четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.

Пусть SV – высота пирамиды SABCD

Пирамида по условию правильная тогда V – точка пересечения диагоналей квадрата ABCD

Так как α перпендикулярна SB тогда SB перпендикулярна любой прямой из α

DM перпендикулярна SB

O = DM SV

Так как SV перпендикулярна (ABC), BV перпендикулярна AC воспользуемся теоремой 3 перпендикуляров SB перпендикулярна AC

Через точку О проведем прямую EF – AC

Тогда EF перпендикулярна AC

EF перпендикулярна SB следовательно DEMF – сечение пирамиды плоскостью α

Следовательно EF параллельна AC, диагонали сечения DM и EF перпендикулярны, что и требовалось доказать

б) Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 6.

Так как диагонали сечения DEMF взаимно перпендикулярны, то площади сечения можно искать по формуле

S = S_DEMF = 1/2 ⋅ DM ⋅ EF

SA = 6

AB : SA = 1:√2

AB = SA :√2 = 3√2

BD = AB√2 = 6

Треугольник BSD равносторонний тогда DM и SV медианы этого треугольника

Точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1

S0/OV = 2/1

EF/AC = SO/SV = 2/3

EF = 2/3AC = 2/3BD = 4

S = 1/2 ⋅ DM ⋅ EF = 6√3

Ответ: 6√3