Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов. Известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,5. Найдите отношение вероятностей событий «стрелок поразить ровно пять мишеней» и «стрелок поразит ровно три мишени».

Источник: ЕГЭ ОГЭ по математике Под редакцией И.В. Ященко.

Решение:

Согласно условию вероятность того, что стрелок попадёт в каждом отдельном выстреле, равна 0,5.

Вероятность промаха равна 1 – 0,5 = 0,5

Cтрелку дается две попытки на одну мишень, найдем вероятность, что стрелок поразит за 2 выстрела мишень:

0,5 + 0,5 ⋅ 0,5 = 0,5 + 0,25 = 0,75

Вероятность промахнуться равна 1 – 0,75 = 0,25

Воспользуемся формулой Бернулли – P_n(K) = C^k n ⋅ p^k ⋅ q^n-k

В нашей задаче

p = 0,75

q = 0,25

Вероятность поразить мишень согласно условию – 5

P₅(5) = C5⁵ ⋅ 0,75⁵ ⋅ 0,25⁰ = 5! / 0!5! ⋅ 0,75⁵ ⋅ 0,25⁰ = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 / 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 0,75⁵ ⋅ 0,25⁰ = 0,75⁵

Вероятность поразить мишень согласно условию – 3

P₅(3) = C5³ ⋅ 0,75³ ⋅ 0,25² = 5! / 2!3! ⋅ 0,75³ ⋅ 0,25² = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 / 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 0,75³ ⋅ 0,25² = 10 ⋅ 0,75³ ⋅ 0,25²

Найдем отношение вероятности событий стрелок поразит 5 мишеней и стрелок поразит 3 мишени

0.75⁵ / 10 ⋅ 0,75³ ⋅ 0,25² = 0,1 ⋅ 0,75² / 0,25² = 0,1 (0,75/0,25)² = 0,1 ⋅ 3² = 0,9

Ответ: 0,9