Точка F – середина боковой стороны CD трапеции ABCD, а AB = BC + AD. Докажите, что AF – биссектриса угла BAD.

Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)

Решение:

Продолжим основание ВС трапеции АВСD и биссектрису АF угла ВАD до пересечения в точке К:

Рассмотрим ΔАFD и ΔСFК они подобны по двум равным углам:

∠АFD = ∠CFК как вертикальные, ∠FАD = ∠FКС как накрест лежащие при AD||ВК и секущей АК. Тогда в них соответствующие стороны пропорциональны, запишем их отношение:

AD / CK =

FD / FC

AD / CK = 1/1

AD = CK

Получается, что сумма оснований трапеции BC + AD равна стороне BK, то есть BK = BC + CK. По условию AB = BC + AD, значит AB = BK.

Таким образом, треугольник ABK равнобедренный, т.к. его боковые стороны равны. Следовательно, углы при основании равны: ∠BAK = ∠BKA.

Поскольку ∠FAD = ∠FKC, то также ∠FAD = ∠BAK.

Следовательно, AF является биссектрисой угла ∠BAD.

Что и требовалось доказать.