Точка T – середина боковой стороны CD трапеции ABCD, а AT – биссектриса угла BAD. Докажите, что AB = BC + AD.

Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)

Решение:

Продолжим основание ВС трапеции АВСD и биссектрису АТ угла ВАD до пересечения в точке К:

Рассмотрим ΔАТD и ΔСТК они подобны по двум равным углам:

∠АТD = ∠CТК как вертикальные, ∠ТАD = ∠ТКС как накрест лежащие при AD||ВК и секущей АК. Тогда в них соответствующие стороны пропорциональны, запишем их отношение:

AD/CK = TD/TC

По условию ТD = ТС, т.к. Т середина стороны СD, тогда:

AD/CK = TD/TC

AD/CK = 1/1

AD = CK

Получается сумма оснований трапеции BC + AD равна стороне ВК = ВС + СК.

∠ВАК = ∠ВКА (AT – биссектриса угла BAD и ∠ТАD = ∠ТКС как накрест лежащие при AD||ВК и секущей АК) значит ΔАВК ранобедренный, боковые стороны в нём равны:

АВ = ВК

АВ = BC + AD

Что и требовалось доказать.