В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскость α проходит через вершины B₁ и D, пересекает стороны AA₁ и CC₁ в точках M и K соответственно, а сечение призмы плоскостью α является ромбом.

а)  Докажите, что точка M  — середина ребра AA₁.

б)  Найдите высоту призмы, если площадь основания равна 3, а площадь сечения равна 6.

Источник: ЕГЭ ОГЭ по математике Под редакцией И.В. Ященко.

Решение:

а) MB₁ KD – РОМБ

AD = AB = A₁B₁

B₁ M = MD

AMD и A₁ MB₁ равны по катету и гипотенузе – A₁ M = MA

б) CK = KC₁

MK параллелен диагонали основания AC его длина = MK = AC = BD = √2AB = √2 ⋅ √3 = √6

AB² = 3

Cечение призмы – ромб, его площадь равна половине произведения диагоналей:

S_{MB1 KD} = 1/2 ⋅ MK ⋅ B₁ D = 1/2 ⋅ √6 ⋅ B₁ D = 6

B₁ D = 2√6

Высота призмы – h

B₁ D² = h² + BD²

24 = h² + 6

h = 3√2

Ответ: б) 3√2