В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Источник варианта: Сборник ОГЭ 2025. Под редакцией И.В Ященко.

Решение:

Свойства равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность.

В равнобедренную трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма её оснований равна сумме боковых сторон.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности.

Точка пересечения диагоналей равнобедренной трапеции лежит на оси симметрии трапеции (прямой, проходящей через середины оснований).

Обозначим:

a и b – основания трапеции (a > b)

c – боковая сторона

h – высота трапеции

O – точка пересечения диагоналей

x – расстояние от точки O до меньшего основания b

Из условия, что в трапецию можно вписать окружность, следует:

a + b = 2c

Периметр трапеции равен 160:

a + b + 2c = 160

2c + 2c = 160

4c = 160

c = 40

Следовательно,

a + b = 2 ⋅ 40 = 80

Площадь трапеции равна 1280:

S = (a + b) / 2 ⋅ h = 1280

80 / 2 ⋅ h = 1280

40h = 1280

h = 32

Рассмотрим подобные треугольники, образованные диагоналями трапеции:

Треугольник, образованный меньшим основанием и частью диагоналей, подобен треугольнику, образованному большим основанием и другой частью диагоналей. Коэффициент подобия равен b / a.

Тогда:

x / h = b / (a + b) (расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания относится к высоте, как меньшее основание к сумме оснований)

Из этого:

x = h ⋅ b / (a + b) = 32 ⋅ b / 80 = 2b / 5

Теперь нам нужно найти b. Мы знаем, что a + b = 80. Выразим a через b:

a = 80 – b

Для решения воспользуемся свойством равнобедренной трапеции и теоремой Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания (разностью полуразностей оснований):

( (a – b) / 2 )² + h² = c²

( ( (80 – b) – b ) / 2 )² + 32² = 40²

( (80 – 2b) / 2 )² + 1024 = 1600

( 40 – b )² = 576

40 – b = 24 (берем положительный корень, т.к. b меньше 40)

b = 16

Подставляем значение b в формулу для x:

x = 2 ⋅ 16 / 5 = 32 / 5 = 6.4

Ответ: 6.4