В треугольнике АВС с тупым углом АВС проведены высоты АА₁ и CC₁. Докажите, что треугольники А₁ВС₁ и АВС подобны.

Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)

Решение:

Рассмотрим ∠АА₁ С и ∠АС₁ С.

Они оба прямые (АА₁ , СС₁ – высоты) и опираются на общую гипотенузу АС.

Если два вписанных в окружность угла опираются на одну и ту же дугу, то они равны.

Значит, ∠АА₁ С и ∠АС₁ С являются вписанными, их точки лежат на окружности и около четырехугольника АА₁ С₁ С можно описать окружность.

Рассмотрим ΔА₁ ВС₁ и Δ АВС.

Углы при вершине В равны как вертикальные.

∠СА₁ С₁ = ∠САС₁ так как являются вписанными в окружность и опираются на общую дугу СС₁.

Таким образом, ΔА₁ ВС₁ и Δ АВС подобны по двум углам.

Что и требовалось доказать.