Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:7:8. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 20.

Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)

Решение:

Пусть b – одна часть, тогда дуга CB = 3b, дуга CB = 7b, дуга АA = 8b. Т.к. в окружности 360°, то составим и решим уравнение

3b + 7b + 8b = 360;

18b = 360

b = 20

Найдем дугу CB : дуга ВB = 3 ⋅ 20 = 60°

∠CОB – центральный, опирается на дугу CB, значит ∠CОB = 60°

ΔCОB – равнобедренный, т.к. ОC = ОB (радиусы), по свойству углов в равнобедренном треугольнике ∠ОCB = ∠ОBC =  (180° – ∠CОB) : 2 = (180° – 60°) : 2 = 60°

Следовательно, ΔCОB – равносторонний и ОB = ОC = CB = 20

Ответ: 20